Kwadrat magiczny (matematyka)

Z Wikipedii

Kwadrat magiczny to tablica liczb składająca się z n wierszy i n kolumn (n>2), w którą wpisano n² różnych liczb naturalnych w ten sposób, że suma liczb w każdym wierszu, w każdej kolumnie i w każdej przekątnej jest taka sama (tzw. suma magiczna). Kwadrat, w którym suma liczb w każdym wierszu i każdej kolumnie jest taka sama, ale sumy liczb w przekątnych są różne, nazywa się półmagicznym.

Z matematycznego punktu widzenia to macierz kwadratowa, w której suma liczb w kolumnach, wierszach i obu przekątnych jest taka sama.

Kwadraty magiczne nie mają żadnego zastosowania naukowego, ich układanie jest rodzajem rozrywki matematycznej. Kwadratów magicznych jest nieskończenie wiele.

Najpopularniejsze są kwadraty zbudowane z kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego: 1, 2, ... n². Suma magiczna takiego kwadratu wynosi n·(n²+1)/2.

Niektóre własności kwadratów magicznych (n, jak wyżej, oznacza liczbę kolumn i wierszy kwadratu):

• Jeśli do każdej liczby w kwadracie dodamy tę samą wartość k, to kwadrat pozostanie magicznym, a jego suma magiczna wzrośnie o n·k.
• Jeśli każdą liczbę w kwadracie pomnożymy przez tę samą wartość k, to kwadrat pozostanie magicznym, a jego suma wzrośnie k-krotnie.
• Jeśli weżmiemy dwa kwadraty magiczne o tym samym rozmiarze i sumach magicznych S₁ i S₂, i dodamy liczby na odpowiadających sobie pozycjach, to otrzymany w wyniku tego dodawania nowy kwadrat też będzie magiczny, a jego suma magiczna wyniesie S₁+S₂ (jednak nie ma gwarancji, że w tym nowym kwadracie wszystkie liczby będą różne).

Sumę magiczną kwadratu można szybko wyznaczyć, bez potrzeby sumowania liczb w kolumnach, wierszach bądź przekątnych, za pomocą wzoru:

gdzie: Z - pierwsza liczba kwadratu magicznego (w lewym górnym rogu), Y - ostatnia liczba kwadratu (w prawym dolnym rogu), X - liczba wierszy i kolumn kwadratu. Oczywiście wzór ten możemy użyć nie tylko do liczb znajdujących się na tych rogach. Wystarczy ze najpierw znajdziemy środek macierzy (może on być liczbą lub + w przypadku boku parzystego). Następnie wybieramy sobie jedną liczbę z macierzy a nasz środek posłuży nam za środek symetrii tzn. naszą drugą liczbą będzie liczba oddalona o taką samą odległość od środka jak pierwsza, lecz po przeciwnej stronie.

Kwadraty magiczne znali juź starożytni Chińczycy i Hindusi, wierzyli w ich magiczną moc i dlatego umieszczali je na amuletach i talizmanach. Najsłynniejszym kwadratem magicznym jest jednak ten, który umieścił Albrecht Dürer na swoim słynnym miedziorycie "Melancholia I". Zapewne nieprzypadkowo w dwu wewnętrznych kratkach ostatniego wiersza tego kwadratu stoją obok siebie liczby 15 i 14, składające się na datę powstania grafiki – rok 1514.

Istnieją również językowe odmiany kwadratów magicznych. W takich kwadratach litery wpisane w pola kwadratu tworzą słowa w kolumnach i wierszach (nie zawsze muszą tworzyć one po przekątnych).

Przykłady kwadratów magicznych:

n = 3, S = 15	n = 4, S = 74	n = 5, S = 65	n = 9, S = 369

miedzioryt Melancholia

Kwadrat z Melancholii Dürera nad skrzydłem anioła n=4 s=34 (16+1=17; 10+7=17; 13+4=17; 6+11=17; 15=2=17; 14+3=17; 12+5=17; 8+9=17)

Zobacz też: dodekafonia, kwadrat magiczny w krzyżówkach