Przestrzeń przeliczalnie zwarta

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Przestrzenie przeliczalnie zwarte to rodzaj przestrzeni topologicznych studiowanych w topologii ogólnej. Własność bycia przestrzenią przeliczalnie zwartą jest osłabieniem zwartości.

Spis treści

1 Definicja
2 Przykłady
3 Własności
4 Bibliografia
5 Zobacz też

[edytuj] Definicja

Niech $(X,τ)$ będzie przestrzenią topologiczną. Powiemy, że $X$ jest przestrzenią przeliczalnie zwartą jeśli z dowolnego przeliczalnego pokrycia otwartego tej przestrzeni można wybrać podpokrycie skończone.

Inaczej mówiąc: jeżeli przestrzeń ta jest sumą pewnej przeliczalnej rodziny otwartych podzbiorów tej przestrzeni, to można wybrać spośród nich skończenie wiele zbiorów, które w sumie również dadzą całą przestrzeń.

Jak z wieloma innymi pojęciami w matematyce, nie ma uniwersalnej zgodności co do użycia terminu przestrzeń przeliczalnie zwarta. Niektórzy autorzy wymagają dodatkowo że rozważana przestrzeń jest T₂ (patrz np monografia Engelkinga^[1]). Czytelnik literatury topologicznej powinien zawsze upewnić się co do znaczenia terminów stosowanych w danym artykule czy też ksiązce.

Przeliczalna zwartość była wprowadzona w 1906 przez francuskiego matematyka Maurice'a Frécheta^[2].

[edytuj] Przykłady

Każda przestrzeń zwarta jest (oczywiście) przestrzenią przeliczalnie zwartą.
Niech zbiór $ω 1$ wszystkich przeliczalnych liczb porządkowych będzie wyposażony w topologię generowaną przez przedziały $(α,β]$ (dla $α < β < ω 1$ ) i zbiór jednopunktowy ${0}$ . Wówczas otrzymujemy przeliczalnie zwartą przestrzeń Hausdorffa, która nie jest zwarta.
Niech $\beta{\mathbb N}$ będzie uzwarceniem Čecha-Stone'a przestrzeni liczb naturalnych ${\mathbb N}$ i niech $p\in \beta{\mathbb N}\setminus {\mathbb N}$ . Wówczas $\beta{\mathbb N}\setminus\{p\}$ (z topologią podprzestrzeni) jest przeliczalnie zwartą przestrzenią Hausdorffa która nie jest zwarta.

[edytuj] Własności

Każda domknięta podprzestrzeń przestrzeni przeliczalnie zwartej jest przeliczalnie zwarta.
Każda przeliczalnie zwarta przestrzeń Lindelöfa jest zwarta.
Jeśli $X$ jest przestrzenią przeliczalnie zwartą i $f:X\longrightarrow {\mathbb R}$ jest funkcją ciągła, to obraz $f (X)$ funkcji $f$ jest ograniczonym zbiorem domkniętym (a zatem funkcja $f$ osiąga swoje kresy).
Ciągły obraz przestrzeni przeliczalnie zwartej jest przestrzenią przeliczalnie zwartą.
Jeśli $X$ jest przestrzenią przeliczalnie zwartą i $Y$ jest przestrzenią zwartą, to $X\times Y$ (z topologią Tichonowa) jest przestrzenią przeliczalnie zwartą.
Produkt dwóch przestrzeni przeliczalnie zwartych nie musi być przeliczalnie zwarty.
Przypuśćmy, że $X$ jest przestrzenią Hausdorffa. Wówczas następujące warunki są równoważne:

(a)

X

jest przestrzenią przeliczalnie zwartą.

(b) Każda przeliczalna rodzina domkniętych podzbiorów

X

z własnością skończonych przekrojów ma niepusty przekrój.

X

ma niepusty przekrój.

(d) Każda lokalnie skończona rodzina podzbiorów

X

jest skończona.

(e) Każdy nieskończony podzbiór

X

ma punkt skupienia.

[edytuj] Bibliografia

↑ Engelking, Ryszard; General Topology; Helderman, Berlin, 1989. Strona 202. ISBN 3-88538-006-4
↑ Maurice Fréchet; Sur quelques points du calcul fonctionnel; Rend. del Circ. Mat. di Palermo, 22 (1906), 1-74.