Przestrzeń Lindelöfa

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Przestrzenie Lindelöfa to rodzaj przestrzeni topologicznych studiowanych w topologii ogólnej.

Spis treści

1 Definicja
2 Uwagi o nazewnictwie i o historii
3 Przykłady
4 Własności
5 Bibliografia
6 Zobacz też

[edytuj] Definicja

Niech $(X,τ)$ będzie przestrzenią topologiczną. Powiemy, że $X$ jest przestrzenią Lindelöfa jeśli z dowolnego pokrycia otwartego tej przestrzeni można wybrać podpokrycie przeliczalne.

Inaczej mówiąc: jeżeli przestrzeń ta jest sumą pewnej rodziny otwartych podzbiorów tej przestrzeni, to można wybrać spośród nich przeliczalnie wiele zbiorów, które w sumie również dadzą całą przestrzeń.

[edytuj] Uwagi o nazewnictwie i o historii

Jak z wieloma innymi pojęciami w matematyce, nie ma pełnej zgodności co do użycia terminu przestrzeń Lindelöfa. Niektorzy autorzy wymagają dodatkowo aby rozważana przestrzeń była regularna (patrz np. monografia Engelkinga^[1]). Czytelnik literatury topologicznej powinien zawsze upewnić się co do znaczenia terminów stosowanych w danym artykule czy też ksiązce.
Pojęcie przestrzeni Lindelöfa było wprowadzone w 1929 przez Aleksandrowa i Urysohna^[2], a nazwa tych przestrzeni ma uhonorować fińskiego matematyka Lindelöfa. W 1903 Lindelöf udowodnił że z każdej rodziny otwartych podzbiorów ${\mathbb R}^n$ można wybrać podrodzinę przeliczalną o tej samej sumie.

[edytuj] Przykłady

Zbiór liczb rzeczywistych z naturalną topologią jest przestrzenią Lindelöfa.
Przestrzeń metryczna jest przestrzenią Lindelöfa wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia drugi aksjomat przeliczalności.
Każda przestrzeń zwarta jest (oczywiście) przestrzenią Lindelöfa.
Rozważmy zbiór liczb rzeczywistych ${\mathbb R}$ wyposażony w topologię $τ S$ generowaną przez przedziały $[a, b)$ dla $a < b$ . Tak więc ${[a, b): a < b}$ jest bazą topologii $τ S$ . Przestrzeń topologiczna $({\mathbb R},\tau_S)$ jest nazywana prostą Sorgenfrey'a. Jest ona przestrzenią Lindelöfa.

[edytuj] Własności

Dowolna przestrzeń spełniająca drugi aksjomat przeliczalności jest przestrzenią Lindelöfa, lecz nie na odwrót – przestrzeń Lindelöfa nie musi spełniać drugiego aksjomatu przeliczalności. Np prosta Sorgenfrey'a wspomniana powyżej nie ma bazy przeliczalnej.
Każda regularna przestrzeń Lindelöfa jest normalna.
Każda domknięta podprzestrzeń przestrzeni Lindelöfa jest też przestrzenią Lindelöfa.
Otwarta podprzestrzeń przestrzeni Lindelöfa nie musi być przestrzenią Lindelöfa; na przykład, każda przestrzeń topologiczna jest otwartą podprzestrzenią swojej kompaktyfikacji jednopunktowej (uzwarcenia w sensie Aleksandrowa).
Ciągły obraz przestrzeni Lindelöfa jest przestrzenią Lindelöfa.
Każda przeliczalnie zwarta przestrzeń Lindelöfa jest zwarta.

[edytuj] Bibliografia

↑ Engelking, Ryszard; General Topology; Helderman, Berlin, 1989. Strona 192. ISBN 3-88538-006-4
↑ Alexandroff, P.; Urysohn, P. Mémoire sur les espaces topologiques compacts dédié à Monsieur D. Egoroff. Verhandelingen Amsterdam 14, Nr. 1, 93 S. (1929)