Weibull-verdeling

**Weibull-verdeling**
Kansdichtheid
Kansverdelingsfunctie
Parameters	$\lambda>0\,$ schaal (reëel) $k>0\,$ vorm (reëel)
Drager	$x \in [0; +\infty)\,$
Kansdichtheid	$(k/\lambda) (x/\lambda)^{(k-1)} e^{-(x/\lambda)^k}$
Kansverdeling	$1- e^{-(x/\lambda)^k}$
Verwachtingswaarde	$\mu=\lambda \Gamma\left(1+\frac{1}{k}\right)\,$
Mediaan	$\lambda\ln(2)^{1/k}\,$
Modus
Variantie	$\sigma^2=\lambda^2\Gamma\left(1+\frac{2}{k}\right) - \mu^2\,$
Scheefheid	$\frac{\Gamma(1+\frac{3}{k})\lambda^3-3\mu\sigma^2-\mu^3}{\sigma^3}$
Kurtosis	(zie tekst)
Entropie	$\gamma\left(1\!-\!\frac{1}{k}\right)+\left(\frac{\lambda}{k}\right)^k +\ln\left(\frac{\lambda}{k}\right)$
Moment- genererende functie
Karakteristieke functie

In de kansrekening en de statistiek is de Weibull-verdeling (genoemd naar genoemd naar Waloddi Weibull) een continue kansverdeling met als kansdichtheidsfunctie

$f(x;k,\lambda) = (k/\lambda) (x/\lambda)^{(k-1)} e^{-(x/\lambda)^k}\,$

waar $x \geq0$ en $k > 0$ de vormparameter is en $λ > 0$ de schaalparameter van de distributie.

De cumulatieve dichtheidsfunctie wordt gedefinieerd als

$F(x;k,\lambda) = 1- e^{-(x/\lambda)^k}\,$

waar opnieuw, $x > 0$ .

Weibull-distributies worden vaak gebruikt om de tijd te modelleren tot een gegeven technisch apparaat uitvalt. Als de uitvalsnelheid (MTBF) van het toestel afneemt over de tijd, kiest men $k < 1$ (wat resulteert in een afnemende dichtheid $f$ ). Wanneer de uitvalsnelheid van het toestel constant is in de tijd, kiest men $k = 1$ , wat opnieuw resulteert in een afnemende functie $f$ . Als de uitvalsnelheid toeneemt in de tijd, kiest men $k > 1$ en bekomt men een densiteit $f$ die stijgt naar een maximum, en dan voor altijd afneemt. Fabrikanten zullen vaak de vorm- en schaalparameters meegeven voor de distributie van de levenstijd van een specifiek toestel. De Weibull-distributie kan ook gebruikt worden om de distributie van de windsnelheden op een bepaalde plaats op Aarde te modelleren. Opnieuw wordt elke lokatie gekarakteriseerd door de vorm- en schaalparameter.

Inhoud

1 Eigenschappen
2 Generatie van Weibull-verdeelde toevalsgrootheden
3 Verwante distributies
4 Toepassing
5 Externe links

[bewerk] Eigenschappen

Het n-de moment wordt gegeven door:

$m_n = \lambda^n \Gamma(1+n/k)\,$

Waar $Γ$ de Gammafunctie is. De verwachtingswaarde en de standaarddeviatie van een Weibull-toevalsgrootheid kunnen uitgedrukt woren als:

$\textrm{E}(X) = \lambda \Gamma(1+1/k)\,$

$\textrm{var}(X) = \lambda^2[\Gamma(1+2/k) - \Gamma^2(1+1/k)]\,$

De scheefheid wordt gegeven door:

$\gamma_1=\frac{\Gamma\left(1+\frac{3}{k}\right)\lambda^3-3\mu\sigma^2-\mu^3}{\sigma^3}$

De kurtosis is gegeven door:

$\gamma_2=\frac{-6\Gamma_1^4+12\Gamma_1^2\Gamma_2-3\Gamma_2^2 -4\Gamma_1\Gamma_3+\Gamma_4}{[\Gamma_2-\Gamma_1^2]^2}$

waar $Γ i = Γ(1 + i / k)$ . De kurtosis kan ook geschreven worden als:

$\gamma_2=\frac{\lambda^4\Gamma\left(1+\frac{4}{k}\right) -3\sigma^4-4\gamma_1\sigma^3\mu-6\sigma^2\mu^2-\mu^4}{\sigma^4}$

[bewerk] Generatie van Weibull-verdeelde toevalsgrootheden

Gegeven een toevalsgetal U getrokken uit een uniforme verdeling in het interval (0, 1], dan heeft de grootheid

$X=\lambda (-\ln(U))^{1/k}\,$

een Weibull-verdeling met parameters k en λ. Dit volgt uit de vorm van de cumulatieve distributiefunctie.

[bewerk] Verwante distributies

$X \sim \mathrm{Exponential}(\lambda)$ is een exponentiële verdeling als $X \sim \mathrm{Weibull}(\gamma = 1, \lambda)$ .
$X \sim \mathrm{Rayleigh}(\beta)$ is een Rayleigh-verdeling als $X \sim \mathrm{Weibull}(\gamma = 2, \beta)$ .
$\lambda(-\ln(X))^{1/k}\,$ is een Weibull-distributie als $X \sim \mathrm{Uniform}(0,1)$ .

[bewerk] Toepassing

De Weibull-distributie geeft de verdeling van de levensduur van voorwerpen. Ze wordt ook gebruikt in de analyse van systemen met een zwakste schakel. De Weibull-verdeling wordt vaak gebruikt in plaats van de normale verdeling omwille van het feit dat een Weibull-toevalsgrootheid kan gegenereerd worden door inversie, terwijl normale toevalsgrootheden typisch gegenereerd worden met de complexere Box-Müller-transformatie, die twee uniform verdeelde toevalsgrootheden vereist. Weibull-distributies kunnen ook gebruikt worden om fabricage- en leveringstijden voor te stellen in industriële processen.