Distribution de Weibull

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**Weibull**
Densité de probabilité / Fonction de masse
Fonction de répartition
Paramètres	$\lambda>0\,$ scale (real) $k>0\,$ shape (real)
Support	$x \in [0; +\infty)\,$
Densité de probabilité (fonction de masse)	$(k/\lambda) (x/\lambda)^{(k-1)} e^{-(x/\lambda)^k}$
Fonction de répartition	$1- e^{-(x/\lambda)^k}$
Espérance	$\mu=\lambda \Gamma\left(1+\frac{1}{k}\right)\,$
Médiane (centre)	$\lambda\ln(2)^{1/k}\,$
Mode
Variance	$\sigma^2=\lambda^2\Gamma\left(1+\frac{2}{k}\right) - \mu^2\,$
Asymétrie (skewness)	$\frac{\Gamma(1+\frac{3}{k})\lambda^3-3\mu\sigma^2-\mu^3}{\sigma^3}$
Kurtosis (non-normalisé)
Entropie	$\gamma\left(1\!-\!\frac{1}{k}\right)+\left(\frac{\lambda}{k}\right)^k +\ln\left(\frac{\lambda}{k}\right)$
Fonction génératrice des moments
Fonction caractéristique

En théorie des probabilités, la loi de Weibull, nommée d'après Waloddi Weibull, est une loi de probabilité continue.

[modifier] Fonctions caractéristiques

Sa densité de probabilité est :

$f(x;k,\lambda) = (k/\lambda) (x/\lambda)^{(k-1)} e^{-(x/\lambda)^k}\,$

où $x \geq 0$ et $k > 0$ sont les paramètres de forme et $λ > 0$ le paramètre d'échelle de la distribution.

Sa fonction de répartition est définie par

$F(x;k,\lambda) = 1- e^{-(x/\lambda)^k}\,$

où, ici encore, $x > 0$ .

Le taux de panne h est donné par :

h (x; k,λ) = (k / λ)(x / λ) (k - 1)

la distribution de Weibull est souvent utilisée dans le domaine de l'analyse de la durée de vie, grâce à sa flexibilité : elle peut reproduire le comportement d'autres lois de probabilités, telle la loi normale et la loi exponentielle.

Si le taux de panne diminue au cours du temps alors, $k < 1$ . Si le taux de panne est constant dans le temps alors, $k = 1$ . Si le taux de panne augmente avec le temps alors, $k > 1$ . La compréhension du taux de panne peut fournir une indication au sujet de la cause des pannes.

Un taux de panne décroissant relève d'une "mortalité infantile". Ainsi, les élements défectueux tombent en panne rapidement, et le taux de panne diminue au cours du temps, quand les éléments fragiles sortent de la population.

Un taux de panne constant suggère que les éléments tombent en panne à cause d'évènements aléatoires.

Un taux de panne croissant suggère une "usure" : les éléments ont de plus en plus de chances de tomber en panne quand le temps passe.

Si k = 3, alors la distribution de Weibull ressemble à une loi normale. Si k = 1, alors la distribution de Weibull se ramène à une distribution exponentielle.