Verwachting (wiskunde)

In de kansrekening is de verwachting (of verwachtingswaarde) van een stochastische variabele de waarde die deze stochast 'gemiddeld genomen' zal aannemen. De verwachting kan berekend worden door de som (of integraal) te nemen van elke mogelijke uitkomst van de stochastische variabele vermenigvuldigd met de kans op deze uitkomst. De verwachting van de stochastische variabele X wordt genoteerd als E(X) (ook wel E[X] of EX).

De stochastische variabele hoeft niet noodzakelijkerwijs de verwachte waarde zelf aan te kunnen nemen. Stel bijvoorbeeld dat men een worp doet met een zuivere dobbelsteen. Er zijn zes mogelijke uitkomsten, die allemaal met kans 1/6 optreden. De verwachting van de uitkomst van de worp is dus 1/6 + 2/6 + ... + 6/6 = 7/2, ook al kan de uitkomst van een individuele worp nooit 7/2 zijn.

Inhoud

1 Verwachting van een continue stochastische variabele
- 1.1 Voorbeeld
2 Verwachting van een discrete stochastische variabele
- 2.1 Voorbeeld
3 Abstracte definitie

[bewerk] Verwachting van een continue stochastische variabele

Een continue stochastische variabele X met kansdichtheid $f X (x)$ heeft de volgende verwachting:

$E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x f_{X}(x){\rm d}x$ .

[bewerk] Voorbeeld

Beschouw de continue stochastische variabele X met waardenbereik $[0,2]$ en kansdichtheid $f_{X}(x) = \frac{3}{8} x^{2}$ voor $x \in [0,2]$ , en $f X (x) = 0$ voor $x \notin [0,2]$ .

De verwachting van deze stochastische variabele is:

$E(X) = \int_{0}^{2} x \frac{3}{8} x^{2}{\rm d}x = 1.5$ .

[bewerk] Verwachting van een discrete stochastische variabele

Een discrete stochastische variabele X met kansfunctie $p X (x)$ heeft de volgende verwachting:

$\,E(X) = \sum_x x p_{X}(x)$ .

[bewerk] Voorbeeld

Beschouw de discrete stochastische variabele X met waardenbereik ${1,2,3,4,5,6}$ en als kansfunctie $p_X(1) = P(X = 1)= 0.25,\, p_X(2) = P(X = 2)= 0.25, \,p_X(3) = 0.3, \,p_X(4) = 0.08, \,p_X(5) = 0.08$ en $\,p_X(6) = 0.04$ .

De verwachting van X is:

$E(X) = \sum_{x=1}^6 x p_X(x) = 1 \times 0.25 + 2 \times 0.25 + 3 \times 0.3 + 4 \times 0.08 + 5 \times 0.08 + 6 \times 0.04 = 2.61$

[bewerk] Abstracte definitie

Als X een stochastische variabele is op de kansruimte (Ω, Σ, P), dan is de verwachting van X, formeel gedefinieerd met behulp van de volgende Lebesgue-integraal:

$\operatorname{E}(X) = \int_\Omega X dP= \int_\Omega X(\omega) P(d\omega)$