Multinomiale verdeling

In de kansrekening en de statistiek is de multinomiale verdeling een discrete, multivariate kansverdeling die gezien kan worden als de veralgemenisering van de binomiale verdeling. De binomiale verdeling is de kansverdeling van het aantal successen in n onafhankelijke Bernoulli-experimenten met gelijke succeskans p. Wanneer een expirement niet slechts twee uitkomsten (bv. succes en mislukking) heeft, maar meerdere, kan de multinomiale verdeling gebruikt worden op de kans van een specifieke uitkomst te bepalen wanneer zo'n expiriment een aantal keer uitgevoerd wordt.

[bewerk] Definitie

Laat een experiment k verschillende disjuncte uitkomsten hebben, met kansen p₁, ..., p_k (waarbij geldt dat p₁ + ... + p_k = 1). Laat X_i het aantal keer dat uitkomst i verkregen wordt in n onafhankelijke uitvoeringen van het expiriment. De vector

$(X_1,\dots,X_k) \,$

heeft als kansverdeling

$P(X_1=x_1,\dots,X_k=x_k)={n! \over x_1!\cdots x_k!}p_1^{x_1}\cdots p_k^{x_k},$

als X₁, ..., X_k niet-negatieve gehele getallen zijn die optellen tot n.

[bewerk] Voorbeeld

In een bepaald land (met een grote populatie) heeft 30% van de inwoners bruin haar, 25% blond haar, en 45% een andere haarkleur. De kans dat van zes willekeurig gekozen mensen er twee bruin, één blond en dus drie een andere haarkleur hebben wordt als volgt berekend.

De k = 3 verschillende uitkomsten zijn 1: "bruin", 2: "blond", 3: "anders", met bijbehorende kansen 0.3, 0.25, 0.45. De steekproefgrootte n=6.

$P(X_1=2,X_2=1,X_3=3)={5! \over 3! 2! 1!}0.3^2 0.25^1 0.45^3 = \frac{120}{6\cdot 2\cdot 1} 0.09 \cdot 0.25 \cdot 0.09 = 0.021.$

[bewerk] Momenten

De verwachtingswaarde is

$\operatorname{E}(X_i) = n p_i,$

de variantie van de afzonderlijke elementen wordt gegeven door

$\operatorname{var}(X_i)=np_i(1-p_i).$

De covariantie tussen X_i en X_j is

$\operatorname{cov}(X_i,X_j)=-np_i p_j$

als i en j verschillend zijn.

[bewerk] Links met andere verdelingen

Zoals gezegd, is de multinomiale verdeling een uitbreiding van de binomiale verdeling.
Elk van de k afzonderlijke componenten heeft als marginale verdeling een binomiale verdeling met parameters n en p_i.