Quaternione

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I quaternioni sono entità introdotte da William Rowan Hamilton nel 1843 come estensioni dei numeri complessi. Il loro insieme forma uno spazio vettoriale sui numeri reali a 4 dimensioni, mentre l'insieme dei numeri complessi costituisce uno spazio sui reali a 2 dimensioni. Le proprietà dei quaternioni fecero molto discutere i matematici del tempo perché la moltiplicazione tra quaternioni non gode della proprietà commutativa. Secondo il punto di vista attuale il loro insieme costituisce un'algebra non commutativa

Un quaternione può quindi essere rappresentato da una quaterna di numeri reali Q = (a,b,c,d) e, in quanto elemento di uno spazio vettoriale, si può esprimere mediante la combinazione lineare Q = a · u + i · b + j · c + k · d, dove u, i, j e k costituiscono una base dello spazio vettoriale dei quaternioni.

Le equazioni che caratterizzano come algebra sul campo dei reali l'insieme dei quaternioni sono

Da queste seguono le regole per la loro "aritmetica", regole scoperte da William Rowan Hamilton. Essi hanno importanti applicazioni nello studio del gruppo delle rotazioni dello spazio tridimensionale, nella fisica (nella teoria della relatività e nella meccanica quantistica) e nella robotica.

Indice 1 Definizione costruttiva 2 Esempio 3 Proprietà 4 Rappresentazioni dei quaternioni tramite matrici 5 Storia 6 Generalizzazioni 7 Voci correlate 8 Collegamenti esterni

[modifica] Definizione costruttiva

I numeri complessi si possono considerare definiti come algebra ottenuta aggiungendo ai numeri reali un elemento i linearmente indipendente da essi e chiedendo che i soddisfi l'identità:

I quaternioni sono stati ottenuti aggiungendo ai numeri reali tre elementi i, j e k da considerare linearmente indipendenti e che soddisfano le seguenti identità.

Ogni quaternione dunque è una combinazione lineare reale delle unità dei quaternioni: 1, i, j, e k. Ogni quaternione si può esprimere in modo unico con la seguente notazione: a + bi + cj + dk. Un quaternione si può esprimere come combinazione lineare di una componente scalare (a) e di una componente vettoriale. Quindi un vettore si può interpretare come quaternione avente la componente scalare nulla.

L'addizione dei quaternioni è ottenuta sommando i relativi coefficienti, come per i numeri complessi e per ogni spazio vettoriale. Data la linearità degli elementi la moltiplicazione è deducibile dalla matrice moltiplicativa per le unità dei quaternioni mostrata nella tabella seguente:

·	1	i	j	k
1	1	i	j	k
i	i	−1	k	−j
j	j	−k	−1	i
k	k	j	−i	−1

Usando questa definizione di moltiplicazione le unità dei quaternioni insieme ai loro opposti formano un gruppo di quaternioni di ordine 8, Q₈.

[modifica] Esempio

Definiamo

x = 3 + i

y = 5i + j − 2k

Ecco delle semplici operazioni

x + y = 3 + 6i + j − 2k

xy = (3 + i)(5i + j − 2k)

= 15i + 3j − 6k + 5i² + ij − 2ik

= 15i + 3j − 6k − 5 + k + 2j

= − 5 + 15i + 5j − 5k

[modifica] Proprietà

A differenza dei numeri reali o dei numeri immaginari le moltiplicazioni nei quaternioni non godono della proprietà commutativa:

I quaternioni sono un esempio di anello di divisione, una struttura algebrica simile ai campi eccetto per la commutatività della moltiplicazione. In particolare la moltiplicazione è dotata della proprietà associativa, dell'elemento inverso e dell'elemento neutro. Questi formano un'algebra associativa a 4 dimensioni costruita sui numeri reali (in effetti sono un'algebra di divisione). I quaternioni contengono i numeri complessi, anche se non formano un'algebra associativa con essi.

I quaternioni, i numeri complessi e i numeri reali sono le uniche algebre di divisione associative a dimensione finita costruite sui numeri reali.

La non commutatività della moltiplicazione porta una conseguenza inaspettata: le soluzioni dei polinomi definiti con i quaternioni possono essere più di quelle definite dal grado del polinomio. L'equazione n z² + 1 = 0, per esempio ha infinite soluzioni nei quaternioni z = bi + cj + dk con b² + c² + d² = 1.

Il coniugato di un quaternione z = a + bi + cj + dk è definito come z ^* = a - bi - cj - dk

Il valore assoluto di z è il numero reale non negativo definito da

Da notare che (wz)^*= z^*w^*, in generale non è uguale a w^*z^*.

L'inverso moltiplicativo di un quaternione non nullo z può essere calcolato come z⁻¹ = z^* / |z|².

Usando la funzione distanza d(z, w) = |z − w|, i quaternioni formano uno spazio metrico (isometrico con la normale metrica euclidea su ⁴) e le operazioni aritmetiche sono continue. Si ha anche che |zw| = |z| |w| per ogni quaternione z e w. Usando il valore assoluto come norma, i quanternioni formano un'algebra di Banach reale.

Come spiegato più dettagliatamente in quaternioni e rotazione spaziale, la rotazione di un angolo 2t attorno a un qualunque vettore unitario bi + cj + dk, porta un qualsiasi altro vettore xi + yj + zk in t^-1(xi + yj + zk)t, dove t = cos(t) + (bi + cj + dk) sin(t)

Non è difficile vedere che la coniugazione con un quaternione unitario con la parte scalare pari a cos(t), corrisponde ad una rotazione di un angolo 2t, dove l'asse della rotazione è la direzione della parte immaginaria.

I quaternioni sono talvolta usati nella grafica al computer (e nella relativa analisi geometrica) per rappresentare rotazioni o orientamenti di oggetti nello spazio tridimensionale. I vantaggi sono: rappresentazione non singolare (se confrontata con gli angoli di Eulero, per esempio), più compatta e più veloce delle matrici. Similmente, una coppia di quaternioni unitari possono rappresentare una rotazione nello spazio quadrimensionale.

L'insieme di tutti i quaternioni unitari foma una sfera a 3 dimensioni S³ e un gruppo (un gruppo di Lie secondo la moltiplicazione). S³ è il rivestimento universale del gruppo SO(3,) di matrici reali e ortogonali di determinante 1, in quanto a ciascuna rotazione corrispondono, secondo la corrispondenza sopra espressa, due quaternioni unitari. Il gruppo S³ è isomorfo a SU(2), il gruppo delle matrici unitarie 2×2 complesse e di determinante 1.

Sia A l'insieme dei quaternioni della forma a + bi + cj + dk, dove a, b, c e d sono o tutti numeri interi o tutti numeri razionali con numeratore dispari e denominatore 2. L'insieme A è un anello e un reticolo. Ci sono 24 quaternioni unitari nell'anello, e sono i vertici di un politopo regolare a 24 celle con simbolo di Schläfli {3,4,3}.

[modifica] Rappresentazioni dei quaternioni tramite matrici

I quaternoni possono essere espressi tramite matrici 2x2 di numeri complessi, oppure matrici 4x4 di numeri reali. Le unità u, i, j, k, nella forma 2x2 e 4x4 sono:

Nella prima forma, il quaternione a + bi + cj + dk è rappresentato da

Questa rappresentazione ha diverse interessanti proprietà:

• Tutti i numeri complessi (c = d = 0) corrispondono a matrici a valori solo reali.
• Il quadrato del valore assoluto di un quaternione è uguale al determinante della matrice corrispondente.
• Il coniugato di un quaternione corrisponde alla coniugata trasposta della matrici.
• Limitandola ai quaternioni unitari, questa rappresentazione fornisce un isomorfismo di gruppo tra le sfera S³ e SU(2). Questo gruppo è importante nella meccanica quantistica per gestire lo spin, vedere anche matrice di Pauli.

Nella seconda forma, il quaternione a + bi + cj + dk è rappresentato da

In quest rappresentazione, il coniugato di un quaternione corrisponde alla trasposta della matrice.

[modifica] Storia

I quaternioni sono stati scoperti dall'irlandese William Rowan Hamilton nel 1843. Hamilton era alla ricerca di un metodo per estendere i numeri complessi (che possono essere visti come punti su un piano) su un numero maggiore di dimensioni spaziali. Non è stato capace di fare questo per 3 dimensioni, ma 4 dimensioni portano ai quaternioni. Secondo la storia che ha poi raccontato, lui stava passeggiando fuori con sua moglie quando improvvisamente gli venne in mente la soluzione nella forma dell'equazione i² = j² = k² = ijk = −1; allora incise subito questa equazione sul lato del vicino ponte Brougham (noto ora come Broom Bridge) a Dublino.

Questo comporta l'abbandono della legge commutativa, una scelta radicale per il tempo. L'algebra vettoriale e le matrici dovevano essere ancora scoperte. Non solo questo, Hamilton ha in un certo senso inventato il prodotto vettoriale e il prodotto scalare dell'algebra vettoriale. Hamilton inoltre ha descritto un quaternione come una quadrupla ordinata (4-tupla) di numeri reali, e ha descritto la prima coordinata come la parte 'scalare', e le rimanenti tre come la parte 'vettoriale'. Se due quaternioni con parte scalare nulla sono moltiplicati, la parte scalare del prodotto è il prodotto scalare della parte vettoriale cambiato di segno, mentre la parte vettoriale del prodotto è il prodotto vettoriale. Ma il loro significato doveva essere ancora scoperto.

Hamilton continuò a rendere popolari i quaternioni con molti libri, l'ultimo dei quali, Elementi sui quaternioni aveva 800 pagine e fu pubblicato poco dopo la sua morte.

Perfino in questa occasione ci furono delle controversie sull'uso dei quaternioni. Alcuni dei sostenitori di Hamilton si opposero clamorosamente agli emergenti campi dell'algebra vettoriale e dell'analisi vettoriale (sviluppata da Oliver Heaviside e Willard Gibbs fra gli altri), affermando che i quaternioni offrivano una notazione migliore. Mentre su questo si può discutere in tre dimensioni, i quaternioni non possono essere usati in altre dimensioni (benché estensioni come gli ottonioni e l'algebra di Clifford possono essere ancora applicabili). In ogni caso, la notazione vettoriale aveva praticamente sostituito i quaternioni nella scienza e nell'ingegneria nella metà del ventesimo secolo.

Oggi, i quaternioni hanno uso nella grafica computerizzata, teoria del controllo, elaborazione dei segnali, controllo dell'assetto e astrodinamica, principalmente nella rappresentazione di rotazioni/direzioni in tre dimensioni. Ad esempio, è comune per i veicoli spaziali un sistema di controllo dell'assetto comandato mediante quaternioni, che sono anche usati per misurare mediante telemetria l'assetto attuale. La ragione è che la combinazione di molte trasformazioni descritte da quaternioni è più stabile numericamente della combinazione di molte trasformazioni matriciali.

[modifica] Generalizzazioni

Se F è un generico campo e a e b sono elementi di F, è possibile definire un'algebra associativa unitaria a quattro dimensioni su F usando due generatori i e j e le relazioni i² = a, j² = b e ij = −ji. Queste algebre sono isomorfe all'algebra delle matrici 2×2 su F, e inoltre sono delle algebre di divisione su F. Sono chiamate algebre di quaternioni.

[modifica] Voci correlate

• Numeri complessi
• Ottonione
• Numero ipercomplesso
• Algebra di divisione
• Algebra associativa

[modifica] Collegamenti esterni

• Sito per spunti
• Doing Physics with Quaternions
• Quaternion Calculator [Java]
• The Physical Heritage of Sir W. R. Hamilton (PDF)
• Kuipers, Jack (2002). Quaternions and Rotation Sequences: A Primer With Applications to Orbits, Aerospace, and Virtual Reality (Reprint edition). Princeton University Press. ISBN 0691102988