Кватернион
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Кватернио́ны — это система гиперкомплексных чисел, предложенная У. Р. Гамильтоном в 1843 году.
Умножение кватернионов не коммутативно, они образуют тело, которое обычно обозначается .
Кватернионы очень удобны для описания изометрий трёхмерного и четырёхмерного Евклидовых пространств, и поэтому получили широкое распространение в механике. Также их используют в вычислительной математике, например при создании трёхмерной графики. [1]
Содержание |
[править] Определения
[править] Вектор-скаляр
Кватернион представляет собой пару где вектор трёхмерного пространства и скаляр, т. е. вещественное число. Операции сложения определены следующим образом:
Произведение должно быть дистрибутивно и
где обозначает скалярное произведение и векторное произведение. Антикоммутативность векторного произведения в последнем определении влечёт некоммутативность произведения кватернионов.
[править] Матричные
Альтернативно, кватернионы можно определить как комплексные матрицы следующего вида с обычным матричным произведением и суммой:
здесь и обозначают комплексно-сопряжённые числа к и .
Кватернионы также можно определить как вещественные матрицы следующего вида с обычным матричным произведением и суммой:
[править] Стандартное
Кватернионы можно определить как формальную сумму где есть четвёрка вещественных чисел и «мнимые единицы» с вот такой таблицей умножения:
· | 1 | i | j | k |
1 | ||||
i | ||||
j | ||||
k |
например , a .
[править] Связанные определения
Для кватерниона
- ,
кватернион называется скалярной частью , а кватернион — векторной чатью. Если то кватернион называется чисто скалярным, а при чисто векторным. Kватернион
называется сопряженным к . Также как и для комплексных чисел
называется модулем . Если то называется единичным кватернионом. Из тождества четырёх квадратов вытекает, что , иными словами кватернионы обладают мультипликативной нормой и образуют ассоциативную алгебру с делением.
[править] Кватернионы и повороты пространства
Кватернионы образуют четырёхмерное евклидово пространство. Любой поворот этого пространства относительно может быть записан в виде , где и пара единичных кватернионов, при этом пара определяется с точностью до знака то есть один поворот определяют в точности две пары и . В частности из этого следует что группа Ли поворотов есть факторгруппа , где обозначает мультипликативную группу единичных кватернионов.
Чисто векторные кватернионы образуют трёхмерное евклидово пространство. Любой поворот пространства чисто векторных кватернионов относительно может быть записан в виде , где некоторый единичный кватернион. Соответственно, , в частности диффеоморфно .
[править] Целые кватернионы
Целыми принято называть кватернионы такие, что все — целые или все — целые.
Существует 24 целых единичных кватерниона:
- ,, , , ,
они образуют группу по умножению и лежат в вершинах правильного четырёхмерного многогранника — кубооктаэдра. Для целых кватернионов верен аналог основной теоремы арифметики, то есть любой кватернион может быть записан в виде произведения простых кватернионов (притом единственным образом) по модулю домножения на единицы; например, если , где — простые, то
также разложение на простые сомножители , , . Забавно то, что в этом разложении порядок простых кватернионов также единственный.
[править] Источники
[править] Ссылки
- Мищенко А., Соловьев Ю., Кватернионы Квант, N9, 1983.
натуральные | целые | рациональные | алгебраические | вещественные | комплексные | кватернионы | числа Кэли
иррациональные | трансцендентные |