Löwenheim-Skolem定理

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在数理逻辑中，经典 Löwenheim–Skolem 定理声称对于标识(signature)为 $<\mathbf{C}, \mathbf{F}, \mathbf{R}, \sigma>$ 的任何可数一阶语言 L 和 L-结构 M，存在一个可数无限基本子结构 N $\subseteq$ M。这个定理的自然和有用的推论是所有一致的 L-理论都有可数的模型。

这里的标识由常量集合 $\mathbf{C}$ 、函数集合 $\mathbf{F}$ 、关系符号集合 $\mathbf{R}$ 、和表示函数和关系符号的元数的函数 $\sigma: \mathbf{F} \cup \mathbf{R} \rightarrow \mathbb{N}$ 组成。在这个上下文中 L-结构，由底层集合(经常指示为“M”)和 L 的常量、函数和关系符号的释义组成。L 的常量在 M 中的释义简单的是函数 $\mathbf{C} \rightarrow M$ 。类似的， $\sigma(f) \$ -元函数 $f \in \mathbf{F}$ 被指派为 M 中的 $\sigma(f) \$ -元函数 $M^{\sigma(f)} \rightarrow M$ 的图，而 $\sigma(R) \$ -元关系 $R \in \mathbf{R}$ 的释义被指派为 M 中的 $\sigma(R) \$ -元关系。语言 L 是可数的，如果在 L 中的常量、函数和关系符号是可数的。

这个定理得名于 Leopold Löwenheim 和 Thoralf Skolem。

[编辑] 例子

一个周知的不可数模型是所有实数的集合，带有次序关系 "<" 作为唯一的关系，和加法与乘法作为函数。有序域的公理是一阶句子；最小上界公理不是一阶的而是二阶的。这个定理蕴涵了实数域的某个可数无限的子域，因此不同于实数域，但满足了实数域所满足的所有一阶句子。(作为可数的有序域，它不能满足最小上界公理)。例如，特定多项式方程有解(在这个模型中)的断言是一阶句子，因此在断言了其存在的可数子模型中是真的，当且仅当它在实数域中是真的。

数学家考虑的多数数学结构，特别是多数范畴的多数成员，是这里定义意义上的模型。Löwenheim–Skolem 定理告诉我们如果它们是不可数的，它们不能被任何一阶句子的集合唯一性的选取出来。

[编辑] 证明梗概

对于在模型 M 中为真的如下形式的一阶句子

$\forall x\ \exists y\ R(x,y)$

或

$\forall x_1\ \cdots\ \forall x_n\ \exists y_1\ \cdots\ \exists y_m R(x_1,\dots,x_n,y_1,\dots,y_m)$

有一个Skolem 函数 f，就是说映射 x 到断言了其存在的 y 的函数，使得

$\forall x\ R(x,f(x))$

在 M 中为真。因为有很多这样的 y 的值，必须启用选择公理来推出 Skolem 函数的存在。

这个模型的某些成员可以直接用一阶公式来定义，就是说，它们的存在被如下形式的句子所断言

$\exists y_1\ \cdots\ \exists y_m R(y_1,\dots,y_m)$

并且因为只有可数多个一阶公式，只有可数多个成员可以用这种方式直接定义。

证明的想法是: 开始于这个模型的所有一阶可定义成员的集合，并接着在所有 Skolem 函数下闭合它。这个闭包必定最多是可数无限的。这个模型的子集是这个定理断言了其存在的子模型。

[编辑] 更一般的 "Löwenheim–Skolem 定理"

上述定理假定了有限或可数无限的语言。更一般的 Löwenheim-Skolem 定理做其他有关基数的假定。类似于这个经典定理的某些定理，断言更小的子模型的存在(“向下” Löwenheim-Skolem 定理)；其他一些断言更大基数的模型的存在(“向上” Löwenheim-Skolem 定理)。

[编辑] 引用

Wilfrid Hodges (1997), "A Shorter Model Theory", Cambridge University Press, ISBN 0521587131
María Manzano (1999), "Model Theory", Oxford University Press, ISBN 0198538510
Rothmaler, Philipp (2000), "Introduction To Model Theory", CRC