Skolem悖论

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在数理逻辑中，特别是集合论中，Skolem 悖论是向下 Löwenheim-Skolem定理的直接结果，它声称所有一阶语言的句子的模型都有一个初等等价的可数子模型。

这个悖论见于Zermelo-Fraenkel 集合论中。康拖尔在 1874年发表的更早的结果是，存在不可数集合比如自然数的幂集，实数的集合，和著名的康拖尔集合。这些集合存在于任何 Zermelo-Fraenkel 全集中，因为它们的存在可从公理得出。使用 Löwenheim-Skolem 定理，我们可以得到只包含可数个对象的集合论的模型。但是，它必须包含上述提及到的不可数集合，这好象是个矛盾。但是正在讨论的这些集合是不可数的，只是在模型内不存在从自然数到这些集合的双射意义上。在模型外有一个双射是完全有可能的。

[编辑] 是悖论吗?

这个悖论被多数逻辑学家看作困惑人的东西，而不是逻辑矛盾的意义上的悖论(就是说是巴拿赫-塔斯基悖论意义上而罗素悖论意义上的悖论)。Timothy Bays 详细论争说在 Löwenheim-Skolem定理或者这个定理周边中什么都没有，就是个自相矛盾。

但是某些哲学家，特别是 Hilary Putnam 和牛津哲学家 A.W. Moore，争论说它在某种意义上是个悖论。

困难位于在这个定理之下的“相对主义”观念。Skolem 说:

在公理化中"集合"不意味着任意定义的搜集；集合只是通过公理所表达的特定关系而相互连接的对象。所以如果域 B 的集合 M 在公理化意义上是不可数的则根本没有矛盾；对于这种方法只是在 B 内不出现 M 到 Z0 (Zermelo 数序列)的一一映射。但是存在着可能性借助正整数，数出在域 B 内所有对象，因此还有 M 的元素；当然这种枚举也是特定的对的搜集，但是这个搜集不是"集合"(就是说它不出现在域 B 中)。

Moore (1985) 争论说如果这种相对主义完全可以理解，它必须在把它定为直接了当的错误的框架内来理解。它是 Skolem 的悖论。

如果 Skolem 的解释为真，可数和不可数这样的想法天性是相对的。我们相信自然数的幂集 P(w) 为不可数的是正确的，但必须理解为相对于我们当前的“视点”。从其他视点这个集合可能实际上是可数的。但是应当有可能使这种相对性变得明显。我们可以这么做只要我们的关于集合的论域被理解为对于它这种断言必须被相对化的对象的特定搜集。但是这依次是不可能的，除非我们认可有一个集合包含所有我们想要谈论的集合的一个“错误”。

“在断言 P(w) 是无条件不可数的时候，我们无法理解这个除非作为确然假的断言，它根本不是不可数的。”

我们不能从同时从两个不同的视点看 P(w)；这将是不连贯的。我们也不能简单的从“这个”视点来看，那么假想的相对性是不可理解的。“但是如果有可能从绝对视点看它，那么相对主义自身将失去它的根本原理并不能拒绝声称 P(w) 包含所有 w 的子集且它是无条件不可数的。”

[编辑] 引证

Zermelo 起初声明 Skolem 悖论是恶作剧。在 1937 年他写了一个标题为《在集合论和所谓的 Skolem 定理中的相对主义》的评论，在其中他反驳了 Skolem 悖论，即事实上 Zermelo-Fraenkel 集合论 -- 保证存在不可数多个集合 -- 却有可数的模型。其他在集合论方面的权威也发现这个结果骇人听闻。

目前我们除了说集合论仍是一个娱乐场所之外，暂时还不知道使这个理论康复的方法。(冯·诺伊曼)

Skolem 的工作蕴涵了“根本就不存在无条件的集合论(还有使用集合论模型的几何、算术和其他理论)的公理化”。(冯·诺伊曼)

关于悖论的书卷仍未合上，关于它的意义和可能解决的一致仍未达成。(Abraham Fraenkel)

我相信依据集合的公理化不是令人满意的终极数学基础是很显然的，数学家们在极大程度上不是很关心它。但是在最近我惊奇的发现如此多的数学家认为集合论的这些公理提供了理想的数学基础；所以该是我发出批评的时候了。(Skolem)

[编辑] 引用

van Dalen, Dirk and Heinz-Dieter Ebbinghaus, "Zermelo and the Skolem Paradox", The Bulletin of Symbolic Logic Volume 6, Number 2, June 2000.
Moore, A.W. "Set Theory, Skolem's Paradox and the Tractatus", Analysis 1985, 45.