Théorème de Löwenheim-Skolem
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Le théorème de Löwenheim-Skolem fait partie de la théorie des modèles. Sa simplicité et sa puissance en font un théorème majeur — avec le théorème de compacité.
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[modifier] Théorème
Soit T une théorie du premier ordre.
- Énoncé
- Si T admet un modèle infini, ou des modèles finis arbitrairement grands, elle admet un modèle de n'importe quel cardinal plus grand que celui de T.
- En particulier, quand T est finiment axiomatisable, et admet un modèle infini, elle admet un modèle dénombrable.
- Preuve
- Avec des modèles finis arbitrairement grands, on peut ajouter, à la théorie, des constantes ci deux à deux distinctes. Toute partie finie de la théorie admet un modèle ; par compacité, on obtient un modèle infini.
[modifier] Variante
Si le modèle est infini, le théorème de Löwenheim-Skolem permet d'augmenter son cardinal à n'importe quel cardinal supérieur.
[modifier] Utilisation et corollaire
Le théorème de Löwenheim-Skolem permet par exemple de montrer que la logique du premier ordre est strictement inférieure à celle du second ordre.
[modifier] Voir aussi
- Biographies :
- Leopold Löwenheim.
- (en) Thoralf Skolem.
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