Privacy Policy Cookie Policy Terms and Conditions 罗尔定理 - Wikipedia

罗尔定理

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[编辑] 内容

如果函数 $f (x)$ 满足

在闭区间 $[a, b]$ 上连续；
在开区间 $(a, b)$ 内可导；
在区间端点处的函数值相等，即 $f (a) = f (b)$ ，

那么在 $(a, b)$ 内至少有一点 $ξ(a < ξ < b)$ ，使得 $f^\prime(\xi)=0$ 。

[编辑] 证明

首先，因为 $f$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续， $f$ 在 $[a, b]$ 上有最大值和最小值。如果最大值和最小值都在端点 $a$ 或 $b$ 处取得，由于 $f (a) = f (b)$ ， $f$ 显然是一个常数函数。那么对于任一点 $\xi \in (a,b)$ ，我们都有 $f^\prime(\xi)=0$ 。

现在假设 $f$ 在 $\xi\in (a,b)$ 处取得最大值。我们只需证明 $f$ 在该点导数为零。

取 $x\in (a,\xi)$ ，由最大值定义 $f(\xi)\geq f(x)$ ，那么 $\frac{f(x)-f(\xi)}{x-\xi}\geq 0$ 。令 $x\rightarrow \xi^-$ ，则 $\lim_{x\rightarrow \xi^-} \frac{f(x)-f(\xi)}{x-\xi}\geq 0$ 。因为 $f$ 在 $ξ$ 处可导，所以到们有 $f'(\xi)\geq 0$ 。

取 $x\in (\xi,b)$ ，那么 $\frac{f(x)-f(\xi)}{x-\xi}\leq 0$ 。这时令 $x\rightarrow \xi^+$ ，则有 $\lim_{x\rightarrow \xi^+} \frac{f(x)-f(\xi)}{x-\xi}\leq 0$ ，所以 $f'(\xi)\leq 0$ 。

于是， $f'(ξ) = 0$ 。

$f$ 在 $\xi\in(a,b)$ 处取得最小值的情况同理。

這是與数学相關的小作品。你可以通过编辑或修订扩充其内容。

[编辑] 参见

中值定理

来自“http://zh.wikipedia.org../../../%E7%BD%97/%E5%B0%94/%E5%AE%9A/%E7%BD%97%E5%B0%94%E5%AE%9A%E7%90%86.html”

页面分类: 數學小作品 | 微积分 | 定理

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