Satz von Rolle
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Der Satz von Rolle (benannt nach dem französischen Mathematiker Michel Rolle) ist ein zentraler Satz der Differentialrechnung, einem Teilgebiet der Analysis (Mathematik).
- Voraussetzung: Die Funktion f sei im abgeschlossenen Intervall [a,b] stetig und im offenen Intervall (a,b) differenzierbar, außerdem gelte
.
- Behauptung: Es gibt mindestens eine Stelle x0 aus (a,b) mit der Eigenschaft
.
Anschaulich bedeutet dies: Auf dem Graphen der Funktion 
gibt es zwischen zwei Kurvenpunkten mit übereinstimmenden y-Werten mindestens einen Kurvenpunkt mit der Steigung m = 0, also mit waagrechter Tangente. Der Satz besagt damit insbesonders, dass zwischen zwei Nullstellen einer differenzierbaren Funktion eine Nullstelle der Ableitung liegt.
Der Satz von Rolle ist einerseits ein Spezialfall des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung. Andererseits lässt sich der Mittelwertsatz mit Hilfe des Satzes von Rolle beweisen.
[Bearbeiten] Satz
Sei ![f:[a,b] \to \mathbb{R}](../../../math/3/3/2/332d0f0f6103ad3c4ec22d3af5b36e7c.png)
eine stetige Funktion (a < b) mit f(a) = f(b). Ist f zudem im offenen Intervall (a, b) differenzierbar, so existiert mindestens eine Stelle c in (a, b) mit f' (c) = 0.
[Bearbeiten] Beweis
- Für eine konstante Funktion f ist die Aussage trivial und gilt für alle x aus (a, b).
- Es bleibt der Fall wenn f nicht konstant ist: Da f über dem kompakten Intervall [a, b] stetig ist, nimmt sie an einer Stelle c in [a, b] einen Extremalwert (ein Maximum bzw. ein Minimum) an. Da ferner f(a) = f(b) und f nichtkonstant ist, so kann a < c < b angenommen werden. An dieser Extremalstelle c muss die Ableitung f'(c) gleich 0 sein: Andernfalls könnten wir o.E.d.A. annehmen, dass f'(c) > 0. Für alle x aus einer hinreichend kleinen Umgebung U um c gelte dann P(x-c) > f(x)-f(c) > p(x-c) für die positiven Zahlen P:=3f'(c)/2 > p:=f'(c)/2 > 0 (direkte Folgerung aus der Definition von f'(c)) und es gäbe dann in jeder Umgebung von c sowohl Elemente x mit f(x) > f(c) wie auch Elemente y mit f(y) < f(c) im Widerspruch zu der Tatsache, dass f in c ein Extremum hat.
