中值定理
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中值定理是微分学基本定理,内容是说一段连续光滑曲线中必然有一点,它的斜率与整段曲线平均斜率相同(严格的数学表达参见下文)。中值定理又称为微分学基本定理,拉格朗日定理,拉格朗日中值定理,以及有限改变量定理[1]等。
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[编辑] 内容
如果函数f(x)满足
- 在闭区间[a,b]上连续;
- 在开区间(a,b)内可导,
那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b),使等式
成立。
[编辑] 证明
令 。那么
- g 在 [a,b] 上连续,
- g 在 (a,b) 上可导,
- g(a) = g(b) = 0。
由罗尔定理,存在一点 ,使得 g'(ξ) = 0。即 。
[编辑] 积分中值定理
设 为一连续函数, 为一正的可积函数,那么存在一点 使得
- 。
[编辑] 证明
因为 f 是闭区间上的连续函数,f 取得最大值 M 和最小值 m。于是
- 。
对不等式求积分,我们有
- 。
若 ,则 。ξ 可取 [a,b] 上任一点。
设 ,那么
- 。
因为 是连续函数,则必存在一点 ,使得
- 。