曲率形式
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微分几何中,曲率形式(curvature form)描述了主丛上的联络的曲率.它可以看作是黎曼几何中的曲率张量的替代或是推广.
[编辑] 定义
令G为一个李群而
为一个主G-丛.记G的李代数为g. 令 ω 表示E上的联络形式(它是一个E上的g-值 1-形式').
则曲率形式就是E上的g-值2-形式,定义为
![\Omega=d\omega +{1\over 2}[\omega,\omega]=D\omega.](../../../math/d/4/a/d4a93453ea87eb7c3ff88befabc1a1eb.png)
这里d表示外导数, [ * , * ]是李括号而D表示外共变导数.更精确的讲,
![\Omega(X,Y)=d\omega(X,Y) +{1\over 2}[\omega(X),\omega(Y)].](../../../math/3/4/5/345a099e46739f6d840e3b0a24eb0e86.png)
若是一个纤维丛,其结构群为G,我们可以在关联的主G-丛上重复同样的定义.
若是一个向量丛则我们可以把ω看作是1-形式的矩阵,然后上面的公式取下面的形式:
其中
是楔积. 更精确的讲,若
和
分别代表ω和Ω的分量,
(所以每个是一个通常的1-形式而每个是一个普通的2-形式)则
例如,黎曼流形的切丛,我们有O(n)作为结构群而
是在o(n)中取值的2-形式 (给定标准正交基,可以视为反对称矩阵). 在这种情况,是曲率张量的一种替换表述,也就是在曲率张量的标准表示中,我们有
[编辑] Bianchi恒等式
第一Bianchi恒等式(对于标架丛的有扭率联络)取以下形式
![D\Theta=\Omega\wedge\theta={1\over 2}[\Omega,\theta]](../../../math/2/7/e/27ec31362174aad14657896443d0ef45.png)
,
这里D代表外共变导数而 Θ是扭率
第二Bianchi恒等式对于一般有联络的丛成立,并有如下形式
- DΩ = 0.
[编辑] 参看
- 陈-西蒙斯形式(Chern-Simons form)
- 黎曼流形的曲率
- 度规理论
