曲率张量

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在微分几何中，黎曼曲率张量是表达黎曼流形的曲率的标准方式，更普遍的，它可以表示有仿射联络的流形的曲率 ,包括无扭率或有扭率的。曲率张量通过Levi-Civita联络(更一般的，一个仿射联络) $\nabla$ (或者叫协变导数)由下式给出:

$R(u,v)w=\nabla_u\nabla_v w - \nabla_v \nabla_u w -\nabla_{[u,v]} w .$

这里 $R (u, v)$ 是一个流形切空间的线性变换；它对于每个参数都是线性的。

注意有些作者用相反的符号定义曲率.

如果 $u=\partial/\partial x_i$ and $v=\partial/\partial x_j$ 是坐标向量场则 $[u, v] = 0$ 所以公式简化为

$R(u,v)w=\nabla_u\nabla_v w - \nabla_v \nabla_u w$

也就是说曲率张量衡量协变导数的反交换性。

线性变换 $w\mapsto R(u,v)w$ 也称曲率变换.

[编辑] 对称性和恒等式

黎曼曲率张量有如下的对称性:

$R(u,v)=-R(v,u)^{}_{}$

$\langle R(u,v)w,z \rangle=-\langle R(u,v)z,w \rangle^{}_{}$

$R(u,v)w+R(v,w)u+R(w,u)v=0 ^{}_{}$

最后一个恒等式由Ricci发现,但是称为第一Bianchi恒等式, 因为和下面的Bianchi恒等式相像。这三个恒等式组成曲率张量对称性的完整列表，也就是给定说任何满足上述恒等式的张量，可以找到一个黎曼流形在某点的曲率张量和它一样。简单的计算表明这样一个张量有 $n 2 (n 2 - 1) / 12$ 个独立分量。

另一个有用的恒等式可以由上面这些导出:

$\langle R(u,v)w,z \rangle=\langle R(w,z)u,v \rangle^{}_{}$