黎曼流形
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黎曼流形是一個可微分流形。流形中每個切空間都有點積其數值因應每點而平滑地改變。它容許我們定義弧線長度，角度，面積，體積，曲率，函數梯度及向量域的散度。
每個Rn的平滑子流形可以导出黎曼度量: 把Rn的點積都限制於切空間內。實際上，根据纳什嵌入定理(Nash embedding theorem), 所有黎曼流形都可以這樣产生。
我們可以定義黎曼流形為和Rn的平滑子流形是等距同胚(isometric)的度量空間,等距是指其自然度量(intrinsic metric)和上述从Rn导出的度量是相同的。 这對建立黎曼幾何是很有用的。
黎曼流形可以定义为平滑流形，其中给出了一个切丛的正定二次形的平滑截面。它會產生度量空間：
如果 γ : [a, b] → M 是黎曼流形 M中一段連續可微分的弧線, 我們可以定義它的長度L(γ) 為
(注意:γ'(t) 是切空間M在γ(t)點的元素; ||.||是切空間的內積所得出的範數.)
使用这个长度的定义,每个连通的 黎曼流形M很自然的成为一个度量空間 (甚至是長度度量空間): 在x與y兩點之間的距離 d(x, y) 被定義為:
- d(x,y) = inf{ L(γ) : γ 是连接x和y的一条光滑曲线}.
虽然黎曼流形通常是"弯曲"的,"直線"的概念依然存在:那就是測地線.
在黎曼流形中,測地線完备的概念, 和拓撲完备及度量完备是等价的:每个完备性都可以推出其他的完备性，这就是Hopf-Rinow定理的内容.
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[编辑] 參考
- Jurgen Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis, (2002) Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-4267-2
