Correlatiecoëfficiënt
Een correlatiecoëfficiënt is een maat voor de correlatie tussen twee stochastische grootheden (of stochastische variabelen).
Men spreekt van correlatie als er tussen de beide grootheden een zekere lineaire samenhang is, in die zin dat waarden van de beide grootheden dezelfde of een tegengestelde tendens vertonen. Zo is er sprake van correlatie tussen de grootheden lengte en gewicht bij (volwassen) mensen. Met toenemde lengte neemt gemiddeld gezien ook het gewicht toe.
Correlatie kan, maar hoeft niet op een causaal verband te duiden. Zo is er correlatie tussen sociale klasse en inkomen, berustend op de genoten opleiding. Ook is er de zgn. nonsenscorrelatie, zoals de schade bij een brand en het aantal ingezette brandweerlieden.
Afhankelijk van de soort grootheden zijn er verschillende correlatiecoëfficiënten om de correlatie te meten. Ook dient weer goed onderscheid gemaakt te worden tussen populatie en steekproef.
Als beide grootheden, X en Y, op intervalschaal of ratioschaal zijn gemeten, wordt hun correlatie uitgedrukt in de (gewone) correlatiecoëfficiënt ρ, gedefineerd door:
;
daarin is
de covariantie van X en Y, en zijn
en 
resp. de standaardafwijkingen van X en Y.
Deze correlatiecoëfficiënt is een maat voor de sterkte van de lineaire samenhang tussen X en Y. De waarde kan variëren van -1 tot 1. Een correlatiecoëfficiënt van +1 of -1 betekent dat er een lineair verband is tussen de beide stochastische variabelen, wat wil zeggen dat de ene variabele volledig uit de andere is te herleiden via een lineaire relatie. Een correlatiecoëfficiënt van 0 wil zeggen dat er totaal geen lineaire samenhang is. Er kan echter wel een kwadratisch of ander verband zijn.
Uit een steekproef wordt een schatting van de correlatiecoëfficiënt ρ verkregen door de Pearson correlatiecoëfficiënt, ook wel aangeduid als Pearson's r of uitgebreider als Pearson('s) product-momentcorrelatiecoëfficiënt, gedefinieerd door:
Wanneer er wel een verband verwacht wordt, maar men geen lineariteit kan/wil aannemen, kan men een rangcorrelatiecoëfficiënt gebruiken. Deze is dus ook geschikt voor grootheden op ordinale schaal. De meest voorkomende rangcorrelatiecoëfficiënten zijn de Spearman's rho (geïntroduceerd door Charles Spearman in 1904) en Kendall's tau (geïntroduceerd door Maurice Kendall in 1938).
Spearman's rho (rS) is normaal gesproken te berekenen via de formule
(di staat voor het verschil in rangorde tussen Xi en Yi, en n staat hier symbool voor het aantal objecten/personen). Wanneer er 'knopen' optreden, d.w.z. wanneer er verschillende metingen zijn met exact dezelfde waarde, dient een correctie hiervoor uitgevoerd te worden. De interpretatie van rS is analoog aan die van Pearson's r: een waarde van 0 duidt op geen verband, +1 op een perfect positief verband, -1 op een perfect negatief verband. De berekening van Kendall's tau is lastiger om handmatig te doen.
Voor grootheden op nominale schaal berekent men de coëfficiënt eta.
[bewerk] Toepassingen
De correlatiecoëfficiënt wordt soms berekend bij metingen aan dynamische processen, zoals bij het meten van trillingen. Bij een complex trillend systeem is het van belang de bron van een trilling vast te stellen. Dit kan door na te gaan of er correlatie is tussen het trillende onderdeel en de vermoedelijke bron.
Ook bij sociologische studies wordt een oorzaak-effect relatie vaak door een niet-parametrische correlatie gemeten.
In de wetenschappelijke psychologie en psychodiagnostiek komen correlatieberekeningen vaak voor, als men bijvoorbeeld het verband wil kennen tussen prestatie op een test en op een criterium-meting. Ook het verband tussen (psychologische) kenmerken van ouders en hun kinderen wordt vaak via correlatie-onderzoek in kaart gebracht.
In de analytische scheikunde wordt veelvuldig gebruikgemaakt van lineaire ijklijnen om de gevoeligheid van een meting vast te stellen. Wanneer men van zo'n ijklijn gebruik maakt om onbekende monsters te kwantificeren streeft men naar een correlatiecoëfficiënt die meer dan drie negens heeft: 0.999 of hoger. Zo'n hoge correlatie betekent naast de goede herleidbaarheid ook dat de meting een reproduceerbaar resultaat zal opleveren.
[bewerk] Valkuilen
Wanneer bij een onderzoek een hoge correlatie tussen twee variabelen wordt gevonden kan niet direct worden geconcludeerd dat de een oorzaak en de ander gevolg is (cum hoc ergo propter hoc). Ook een gemeenschappelijke oorzaak zou de grondslag kunnen zijn, of een algemene trend. Een bekend voorbeeld is de correlatie in de 20e eeuw tussen het vóórkomen van kanker en het aantal antennes op de daken van de huizen: beide namen gedurende enkele decennia sterk toe, maar er was geen enkel oorzakelijk verband.
Een (significante) correlatie drukt dus niet noodzakelijk ook een oorzakelijk verband uit. Stel dat er een verband wordt gevonden tussen verhoogde agressiviteit bij kinderen en het aantal uren dat ze naar TV kijken. Dan is daarmee niet bewezen dat kinderen "agressief worden" van het televisiekijken. Net zo goed kan men beweren dat kinderen die in aanleg meer neigen tot agressiviteit ook vaker het televisiekijken als vrijetijdsbesteding kiezen. Er is in dit geval dus slechts sprake van een statistisch verband, en niet van een oorzakelijk verband.
Een andere valkuil is het zoeken naar een correlatie. Wanneer men enkele tientallen variabelen bestudeert en paarsgewijze correlaties uitrekent, komt men eenvoudig aan honderden correlatiecoëfficiënten. Zelfs wanneer de variabelen allemaal niets met elkaar te maken hebben kan er toevallig best een goede correlatie voorkomen. Een mooi voorbeeld is de correlatie tussen het vóórkomen van de ooievaar en het aantal baby's dat wordt geboren dat soms wordt gevonden voor bepaalde periodes van jaren in een bepaald land: er zijn heel veel jaren in heel veel landen waar deze correlatie niet opgaat, maar het is eenvoudig om deze even te vergeten en alleen naar het interessante resultaat te kijken.
