Trasformazioni canoniche

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In meccanica razionale si chiamano trasformazioni canoniche quelle trasformazioni delle variabili generalizzate usate per descrivere un sistema attraverso le equazioni di Hamilton, che mantengono la forma delle equazioni di Hamilton.

Il problema è quello di trovare una particolare trasformazione canonica (un diffeomorfismo) tale che le equazioni di Hamilton assumino una forma semplice per la loro risoluzione.

Indice

1 Traformazioni canoniche indipendenti dal tempo
- 1.1 Dimostrazione della forma hamiltoniana delle trasformazioni
2 Condizioni di canonicità
3 Trasformazioni canoniche dipendenti dal tempo
4 Le quattro forme canoniche
5 Voci correlate

[modifica] Traformazioni canoniche indipendenti dal tempo

Analiticamente le trasformazioni canoniche (indipendenti dal tempo), in generale, sono rappresentabili in forma delle vecchie coordinate generalizzate $q i, p i$ :

(1) $\qquad \begin{cases} Q_i = Q_i(q,p) \\ P_i = P_i (q,p) \end{cases}$

Queste equazioni per essere canoniche devono mantenere la forma "hamiltoniana":

(2a) $\qquad \dot Q_i = \frac{\partial K}{\partial P_i}$

(2b) $\qquad \dot P_i = -\frac{\partial K}{\partial Q_i}$

dove K è la nuova hamiltoniana. Bisogna precisare che in generale tutte le trasformazioni di questo tipo vengono dette canoniche. In realtà alcuni autori (e nell'articolo in questione) sottolineano che sono canoniche le trasformazioni (1) tali che le equazioni mantengano una forma hamiltoniana (2) e tali che la nuova hamiltoniana si possa esprimere come:

(3) $\qquad K(Q,P) = H(q(Q,P), p(Q,P))$

[modifica] Dimostrazione della forma hamiltoniana delle trasformazioni

La dimostrazione che queste nuove coordinate soddisfano una forma hamiltoniana segue dal principio di Hamilton ampliato scritto nella forma delle nuove coordinate:

$\delta \int_{t_1}^{t_2} \left( \sum_{i} P_i \cdot \dot Q_i - K(Q,P,t) \right) dt = 0$

Ma è anche vero che le vecchie coordinate soddisfavano allo stesso principio:

$\delta \int_{t_1}^{t_2} \left( \sum_{i} p_i \cdot \dot q_i - H(q,p,t) \right) dt = 0$

per cui uguagliando si ottiene che gli integrandi sono uguali a meno di una costante cioè:

$\int_{t_1}^{t_2} \frac{dG}{dt} dt = G(t_2) - G(t_1)$

La funzione G è detta funzione generatrice della trasformazione, poiché conoscendola, si determina totalmente anche tutta la trasformazione. L'utilità vera delle trasformazioni canoniche è quella che dato un sistema fisico, il numero di coordinate cicliche dipende dal tipo di coordinate generalizzate scelte per rappresentare il sistema. Quantunque si vuole scegliere certe coordinate generalizzate qualsiasi, con un'opportuna trasformazione canonica, possiamo trasformarle per ottenere coordinate generalizzate tutte cicliche.

[modifica] Condizioni di canonicità

Una trasformazione del tipo (1) è canonica se e solo se vale una di queste condizioni:

1) conserva le Parentesi di Poisson fondamentali;

2) la matrice Jacobiana della trasformazione è una matrice simplettica;

3) conserva le parentesi di Lagrange;

4) Verifica la condizione di Lie.

[modifica] Parentesi di Poisson e trasformazioni canoniche

Data la trasformazione (1), essa è canonica se e solo se sono verificate le parentesi di Poisson fondamentali:

(5a)

[q i (Q, P), q k (Q, P)] = [p i (Q, P), p k (Q, P)] = 0

(5b)

[q i (Q, P), p k (Q, P)] = δ i k

dove $δ i k$ è il simbolo di Kronecker.

[modifica] Matrici simplettiche e trasformazioni canoniche

Per approfondire, vedi la voce Geometria simplettica.

Una trasformazione del tipo (1) è canonica se e solo se la sua matrice Jacobiana F è simplettica, cioè:

F J F t = J

Con matrice Jacobiana della trasformazione intendiamo la matrice $2n \times 2n$ :

$F = \begin{bmatrix} \frac{\partial q_1}{\partial Q_1} & \cdots & \frac{\partial q_1}{\partial Q_n} & \frac{\partial q_1}{\partial P_1} & \dots & \frac{\partial q_1}{\partial P_n} \\ \vdots & \dots & \vdots & \vdots & \dots & \vdots \\ \frac{\partial q_n}{\partial Q_1} & \cdots & \frac{\partial q_n}{\partial Q_n} & \frac{\partial q_n}{\partial P_1} & \dots & \frac{\partial q_n}{\partial P_n} \\ \frac{\partial p_1}{\partial Q_1} & \cdots & \frac{\partial p_1}{\partial Q_n} & \frac{\partial p_1}{\partial P_1} & \dots & \frac{\partial p_1}{\partial P_n} \\ \vdots & \dots & \vdots & \vdots & \dots & \vdots \\ \frac{\partial p_n}{\partial Q_1} & \cdots & \frac{\partial p_n}{\partial Q_n} & \frac{\partial p_n}{\partial P_1} & \dots & \frac{\partial p_n}{\partial P_n} \end{bmatrix}$

quindi $F t$ è la sua trasposta e J è la matrice $2n \times 2n$ :

$J = \begin{bmatrix} \mathbf{0} & \mathbf{I}\\ - \mathbf{I} & \mathbf{0} \end{bmatrix}$

dove $\mathbf{I}_{n \times n}$ ordinaria. La matrice $\mathbf{J}_{2n \times 2n}$ è tale che $\mathbf{J}_{n \times n}^{2} = \mathbf{J}$ e quindi $\mathbf{J}_{n \times n}^{-1} = -\mathbf{J}$ cioè rappresenta l'analogo di una matrice ortogonale nella geometria simplettica.

[modifica] Parentesi di Lagrange e trasformazioni canoniche

Una trasformazione del tipo (1) è canonica se e solo se sono verificate le parentesi di Lagrange:

[Q i, Q k] = [P i, P k] = 0

[Q i, P k] = δ i k

dove $δ i k$ è ancora il simbolo di Kronecker.

[modifica] Condizione di Lie

Una trasformazione di tipo (1) è canonica se e solo se esiste una funzione G tale che la forma differenziale sia chiusa (localmente esatta):

$\sum_{i = 1}^{n} \left(P_i dQ_i - p_i dq_i \right) = dG$

[modifica] Trasformazioni canoniche dipendenti dal tempo

Le stesse considerazioni valgono nel caso la trasformazione sia dipendente dal tempo: nella meccanica hamiltoniana infatti il tempo può essere considerato una variabile in più e come tale nelle equazioni e nell'Hamiltoniana va inserita un'altra coppia di variabili.

Per approfondire, vedi la voce Meccanica hamiltoniana.

In questo caso il problema della trasformazione canonica si pone allo stesso modo con l'eccezione che la (3) diventa:

K (Q, P, t) = H (q, p, t) - S (q (Q, P, t), p (Q, P, t))

[modifica] Le quattro forme canoniche

In pratica le trasformazioni canoniche sono di quattro tipi, dovuti alla dipendenza della funzione generatrice da queste:

$1) \ G_1(q,Q,t)$

$2) \ G_2(q,P,t)$

$3) \ G_3(Q,p,t)$

$4) \ G_4(P,p,t)$

e la scelta dipende dal problema. Prendiamo il caso 1) e vediamo di ricavare la forma canonica e la nuova hamiltoniana. Dai principi di Hamilton ampliati, la relazione che lega i due sistemi di coordinate è:

$\sum_{i} p_i \cdot \dot q_i - H(q,p,t) = \sum_{i} P_i \cdot \dot Q_i - K(q,p,t) + \frac{d G_1 (q,Q,t)} {dt}$

Ora sviluppiamo la derivata totale della funzione generatrice rispetto al tempo:

$\frac{dG_1}{dt} = \sum_{i} \frac{\partial G_1}{\partial q_i} \dot q_i + \sum_{i} \frac{\partial G_1}{\partial Q_i} \dot Q_i + \frac{\partial G_1}{\partial t}$

Infine riesce:

$p_i = \frac{\partial G_1}{\partial q_i}$

$P_i = -\frac{\partial G_1}{\partial Q_i}$

con nuova hamiltoniana: $K = H + \frac{\partial G_1}{\partial t}$

Nel caso 2) si hanno:

$p_i = \frac{\partial G_2}{\partial q_i}$

$Q_i = \frac{\partial G_2}{\partial P_i}$

con nuova hamiltoniana: $K = H + \frac{\partial G_2}{\partial t}$

Nel caso 3) si hanno:

$q_i = -\frac{\partial G_3}{\partial p_i}$

$P_i = -\frac{\partial G_3}{\partial Q_i}$

con nuova hamiltoniana: $K = H + \frac{\partial G_3}{\partial t}$

Nel caso 4) si hanno:

$q_i = -\frac{\partial G_4}{\partial p_i}$

$Q_i = \frac{\partial G_4}{\partial P_i}$

con nuova hamiltoniana: $K = H + \frac{\partial G_4}{\partial t}$

[modifica] Voci correlate

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