Matrice simplettica

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In matematica, una matrice simplettica è una matrice M di dimensione 2n×2n (i cui elementi sono tipicamente reali o complessi) che soddisfa la condizione

M T Ω M = Ω.

dove M^T indica la trasposta di M e Ω è la matrice antisimmetrica

2n×2n : $\Omega = \begin{bmatrix} 0 & I_n \\ -I_n & 0 \\ \end{bmatrix}$

Qui I_n è la matrice identità n×n. Si noti che Ω ha determinante +1 ed elevata al quadrato è l'opposto della matrice identità: Ω² = −I_2n.

Importante. Alcuni autori preferiscono usare una Ω differente per la definizione delle matrici simplettiche. L'unica proprietà essenziale è che Ω sia una matrice antisimmetrica non singolare. L'alternativa più comune è la forma a blocchi diagonali

$\Omega = \begin{bmatrix} \begin{matrix}0 & 1\\ -1 & 0\end{matrix} & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & \begin{matrix}0 & 1 \\ -1 & 0\end{matrix} \end{bmatrix}$

Si noti che questa scelta si differenzia dalla precedente per una permutazione dei vettori della base. Infatti, ogni scelta di Ω può essere portata in una delle due forme precedenti con una differente scelta della base. Vedi la formulazione astratta più avanti nella sezione delle trasformazioni simplettiche.

[modifica] Proprietà

Ogni matrice simplettica ha un'inversa data da

M - 1 = Ω - 1 M T Ω

Inoltre, il prodotto di due matrici simplettiche è ancora una matrice simplettica. Questo fatto attribuisce all'insieme di tutte le matrici simplettiche la struttura di gruppo. Esiste una struttura naturale di varietà su questo gruppo che produce un gruppo di Lie (reale o complesso) chiamato gruppo simplettico. Il gruppo simplettico ha dimensione n(2n + 1).

Segue immediatamente dalla definizione che il determinante di ogni matrice simplettica è ±1. Di fatto succede che il determinante è sempre +1. Un modo di vedere questo è attraverso l'uso del Pfaffiano e dell'identità

Pf(M T Ω M) = det(M)Pf(Ω).

Poiché $M T Ω M = Ω$ e $\mbox{Pf}(\Omega) \neq 0$ abbiamo che det(M) = 1.

Sia M una matrice a blocchi 2n×2n data da

$M = \begin{pmatrix}A & B \\ C & D\end{pmatrix}$

dove A, B, C, D sono matrici n×n. Allora la condizione che M sia simplettica è equivalente alle condizioni

A T D - C T B = 1

A T C = C T A

D T B = B T D .

Quando n = 1 queste condizioni si riducono alla singola condizione det(M) = 1. Quindi una matrice 2×2 è simplettica sse ha determinante unitario.

[modifica] Trasformazioni simplettiche

Nella formulazione astratta dell'algebra lineare, le matrici sono sostituite da trasformazioni lineari di spazi vettoriali a dimensioni finite. L'analogo astratto di una matrice simplettica è una trasformazione simplettica di uno spazio vettoriale simplettico. In breve, uno spazio vettoriale simplettico è uno spazio vettoriale 2n-dimensionale V dotato di una forma bilineare antisimmetrica non degenere ω.

Una trasformazione simplettica è quindi una trasformazione lineare f : V → V che preserva ω, cioè

ω(f (x), f (y)) = ω(x, y).

Fissando una base per V, ω può essere scritta come una matrice Ω e f come una matrice M. La condizione che f sia una trasformazione simplettica è proprio che M sia una matrice simplettica: