Pfaffiano

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In matematica, e più generalmente in algebra lineare, il determinante di una matrice antisimmetrica può sempre essere scritto come il quadrato di un polinomio costruito a partire dagli elementi della matrice.

Questo polinomio è chiamato lo Pfaffiano della matrice. Lo Pfaffiano è nullo per le matrici antisimmetriche di ordine dispari, mentre per le matrici di ordine pari, cioè del tipo $2n\times 2n$ , è un polinomio di grado $n$ .

Indice

1 Esempi
2 Definizione formale
- 2.1 Definizione alternativa
3 Identities
4 Applicazioni
5 Storia
6 Collegamenti esterni

[modifica] Esempi

$\mbox{Pf}\begin{bmatrix} 0 & a \\ -a & 0 \end{bmatrix}=a.$

$\mbox{Pf}\begin{bmatrix} 0 & a & b & c \\ -a & 0 & d & e \\ -b & -d & 0& f \\-c & -e & -f & 0 \end{bmatrix}=af-be+dc.$

$\mbox{Pf}\begin{bmatrix} \begin{matrix}0 & \lambda_1\\ -\lambda_1 & 0\end{matrix} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \begin{matrix}0 & \lambda_2\\ -\lambda_2 & 0\end{matrix} & & 0 \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \begin{matrix}0 & \lambda_n\\ -\lambda_n & 0\end{matrix} \end{bmatrix} = \lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n.$

[modifica] Definizione formale

Sia π l'insieme delle partizioni in coppie non ordinate di {1, 2, …, 2n}. Queste sono (usando la notazione del semifattoriale) esattamente (2n − 1)!!. Una partizione puo' essere scritta come

$\alpha=\{(i_1,j_1),(i_2,j_2),\cdots,(i_n,j_n)\}$

con i_k < j_k e $i_1 < i_2 < \cdots < i_n$ . Associamo ad α la permutazione

$\pi=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & \cdots & 2n \\ i_1 & j_1 & i_2 & j_2 & \cdots & j_{n} \end{bmatrix}$

e sia sgn(α) il suo segno.

Sia A = {a_ij} una matrice antisimmetrica 2n×2n . Data una partizione α definiamo il valore

$A_\alpha =\operatorname{sgn}(\alpha)a_{i_1,j_1}a_{i_2,j_2}\cdots a_{i_n,j_n}.$

Possiamo infine definire lo Pfaffiano di A come

$\operatorname{Pf}(A)=\sum_{\alpha\in\Pi} A_\alpha.$

Lo Pfaffiano di una matrice antisimmetrica n×n con n dispari è per definizione nullo.

[modifica] Definizione alternativa

È possibile associare ad ogni matrice antisimmetrica 2nx2nn A = {a_ij} un bivettore

$\omega=\sum_{i<j} a_{ij}\;e_i\wedge e_j.$

dove {e₁, e₂, …, e_2n} è la base usuale di' R'²ⁿ. Lo Pfaffiano è quindi definito come l'equazione

$\frac{1}{n!}\omega^n = \mbox{Pf}(A)\;e_1\wedge e_2\wedge\cdots\wedge e_{2n},$

dove ωⁿ rappresenta il prodotto vettoriale di ω n volte con sé stesso.

[modifica] Identities

Per una matrice antisimmetrica 2n × 2n A ed una generica matrice 2n × 2n B,

$Pf(A) 2 = det(A)$

$Pf(B A B T) = det(B)Pf(A)$

$Pf(λ A) = λ n Pf(A)$

$Pf(A T) = ( - 1) n Pf(A)$

Per una matrice diagonale a blocchi

$A_1\oplus A_2=\begin{bmatrix} A_1 & 0 \\ 0 & A_2 \end{bmatrix}$

Si ha Pf(A₁⊕A₂) = Pf(A₁)Pf(A₂).

Per una matrice arbitraria n × n denominata M:

$\mbox{Pf}\begin{bmatrix} 0 & M \\ -M^T & 0 \end{bmatrix} = (-1)^{n(n-1)/2}\det M.$

[modifica] Applicazioni

Lo Pfaffiano è un polinomio invariante per congruenza delle matrici antisimmetriche (se rappresenta una applicazione lineare, non è invariante rispetto ad un generale cambio di base ma lo è per una trasformazione ortogonale). Come tale, svolge un ruolo importante nella teoria delle classi caratteristiche. In particolare, può essere usato per definire la classe di Eulero di una superficie di Riemann, usata nel Teorema generalizzato di Gauss-Bonet

[modifica] Storia

Il termine Pfaffiano è stato introdotto da Arthur Cayley, che lo usò nel 1852:The permutants of this class (from their connection with the researches of Pfaff on differential equations) I shall term "Pfaffians". Il termine onora dunque la memoria del matematico tedesco Johann Friedrich Pfaff