Teoria di Hamilton-Jacobi

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Il metodo di Hamilton-Jacobi riconduce alla risoluzione delle equazioni di Hamilton ricercando un'opportuna funzione generatrice che generi una trasformazione canonica, in modo che nelle nuove coordinate, la nuova hamiltoniana sia nulla.

Per approfondire, vedi la voce Trasformazioni canoniche.

La teoria di Hamilton-Jacobi deriva direttamente dal principio di Hamilton ampliato, principio che riproponiamo:

$1) \ I' = \int_{t_1}^{t_2} \left( \sum_{i=1}^{n} p_i\dot q_i - H \right) \ dt$

dove I' è l'azione ampliata che ci dice come un qualsiasi moto che si svolge tra le stesse configurazione estreme in modo che $δ q i (t 1) = δ q i (t 2) = 0$ rende stazionaria l'azione ampliata, cioè assume un valore massimo o minimo. In pratica definiti gli estremi delle coordinate q agli istanti $t 1, t 2$ , si possono ricavare le equazioni canoniche di Hamilton da questa azione.

Per approfondire, vedi la voce Principio variazionale di Hamilton.

Dunque questa azione risulta determinata dalla coppia: $q i (t 1), q i (t 2)$ , la cui soluzione è la cosiddetta funzione caratteristica di Hamilton:

$2) \ S((q,t)|_{t_1,t_2}) = \int_{t_1}^{t_2} \left( \sum_{i=1}^{n} p_i(\tau) \frac{dq_i(\tau)}{d\tau} - H(q(\tau),p(\tau),\tau) \right) \ d\tau$

La soluzione di questo integrale (dove si è cambiata la variabile di integrazione) è quindi sottoposta alla conoscenza del moto, cioè bisognerebbe già conoscere il moto per risolvere questo integrale.

[modifica] Equazioni di Hamilton-Jacobi

Pensiamo a risolvere l'integrale considerando uno spostamento virtuale delle coordinate $δ q$ per una variazione virtuale del tempo $δ t$ che corrisponde ad una variazione dell'integrale:

$\delta S((q,t)|_{t_1,t_2}) = \sum_{i=1}^{n} p_i(t_2) \delta q_i(t_2) - H(q(t_2),p(t_2),t_2) \ \delta t_2 - \sum_{i=1}^{n} p_i(t_1) \delta q_i(t_1) - H(q(t_1),p(t_1),t_1) \ \delta t_1 = 0$

Questa variazione deve essere nulla affinché l'azione sia stazionaria. Sappiamo che S è una funzione di $(q i (t 1), t 1),(q i (t 2), t 2)$ e quindi la sua variazione è anche uguale a:

$\delta S = \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial S}{\partial q_i(t_2)} \delta q_i(t_2) + \frac{\partial S}{\partial t_2} \delta t_2 + \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial S}{\partial q_i(t_1)} \delta t_1 + \frac{\partial S}{\partial t_1} \delta t_1 = 0$

Possiamo uguagliare termine a termine in via del tutto generale tra due istanti di tempo $t, t 0$ , ottenendo le equazioni di Hamilton-Jacobi $(3)$ :

$\frac{\partial S}{\partial q_i(t)} = p_i$

$\frac{\partial S}{\partial q_i(t_0)} = -p_i(t_0)$

$\frac{\partial S}{\partial t} = -H(q_i(t),p_i(t),t)$

$\frac{\partial S}{\partial t_0} = H(q_i(t_0),p_i(t_0),t_0)$

In generale l'equazione di Hamilton-Jacobi, dipendente dal tempo, associata all'Hamiltoniana $H (q, p, t)$ è:

$H\left(q_1,...,q_n, \frac{\partial S}{\partial q_1}, ..., \frac{\partial S}{\partial q_n},t\right) + \frac{\partial S}{\partial t} = 0$

dove S è la funzione principale di hamilton incognita (vedi sezione successiva).

[modifica] Metodo di Hamilton-Jacobi

Cerchiamo una particolare trasformazione canonica delle variabili $(q, Q)$ alle variabili $(p, P)$ , che consideri la funzione principale di Hamilton come funzione generatrice della trasformazione, tra due istanti di tempo $(t 0, t)$ , otterremo le equazioni di trasformazione:

$p_i = \frac{\partial S}{\partial q_i}$

$P_i = \frac{\partial S}{\partial Q_i}$

In pratica l'evoluzione del moto discende da una particolare trasformazione canonica di cui la funzione pricipale di Hamilton è la funzione generatrice della trasformazione. La nuova Hamiltoniana diventa allora:

$4) \ K = H + \frac{\partial S}{\partial t} = 0$

Ma questa nuova hamiltoniana deve essere nulla perché è proprio il principio ampliato di Hamilton che soddisfa le equazioni di Hamilton-Jacobi, da queste ricaviamo le equazioni di Hamilton:

$5) \ q_i (t_0) = a_i$

$5) \ p_i (t_0) = b_i$

dove $a i, b i$ sono costanti. L'equazione:

$6) \ H\left(q_i,\frac{\partial S}{\partial q_i},t \right) + \frac{\partial S}{\partial t} = 0$

è detta equazione di Hamilton-Jacobi, molto simile all'equazione della nuova hamiltoniana nelle trasformazioni canoniche. Questo per dire che la risoluzione della funzione principale di Hamilton è d'aiuto nella risoluzione del problema, se scegliamo S come funzione generatrice di una trasformazione canonica dalle vecchie coordinate e del tempo alle nuove coordinate, mantenendo la nuova hamiltoniana nulla, la soluzione dell'integrale sopra diventa banale poiché le equazioni del moto sarebbero altrettanto nulle cioè otterremo le 5).

[modifica] Funzione caratteristica di Hamilton

La soluzione della funzione principale di Hamilton ci fornisce una soluzione del moto scegliendola come funzione generatrice di una trasformazione canonica, imponendo che la nuova hamiltoniana sia nulla. Ma la vera utilità del metodo di Hamilton-Jacobi diventa palese se l'Hamiltoniana non dipende esplicitamente dal tempo. In questo caso possiamo sempre dividere l'equazione di hamilton-Jacobi in due parti:

$H\left(q_i,\frac{\partial S}{\partial q_i}\right) + \frac{\partial S}{\partial t} = 0$

la prima parte in cui si ha sola dipendenza delle q e la seconda in cui c'è solo dipendenza dal tempo. La soluzione allora è della forma:

$7) \ S(q_i,\frac{\partial S}{\partial q_i},t) = W \left(q_i,\frac{\partial S}{\partial q_i}\right) - \frac{\partial S}{\partial q_1} \cdot t$

dove avremo $p_i = \frac{\partial S}{\partial q_i} = costante = c_i$ . La $W (q i, c i, t)$ è chiamata funzione caratteristica di Hamilton. La derivata parziale:

$\frac{\partial S}{\partial q_1} = c_1 = H$

è uguale alla costante H che è proprio l'Hamiltoniana. Cioè possiamo scegliere che la nuova hamiltoniana invece che nulla sia costante, ma la costante è proprio H stessa: in tal caso le equazioni del moto diventano:

$8) \ \dot Q_i = \frac{\partial K}{\partial P_i} = c_i$

$9) \ \dot P_i = -\frac{\partial K}{\partial Q_i} = 0$

le cui soluzioni invece sono nulle come nel caso 5):

$10) \ Q_i = c_i t + d_i$

$11) \ P_i = e_i$

dove $d i, e i$ sono le condizioni iniziali.

[modifica] Conclusioni

La teoria di Hamilton-Jacobi in definitiva si avvale di una qualche trasformazione canonica e segue il procedimento:

Nel primo caso, quando $H (q, p, t)$ si risolve la 6) e si cercano le trasformazioni alle nuove coordinate $Q i, P i$ imponendo che la nuova hamiltoniana sia $K = 0$ . In questo caso la funzione generatrice corrisponde proprio alla funzione principale di Hamilton $S (q, P, t)$ che soddisfa l'equazione di Hamilton-Jacobi $H\left(q_i,\frac{\partial S}{\partial q_i},t \right) + \frac{\partial S}{\partial t} = 0$ . Le equazioni del moto diventano banalmente $\dot Q_i = \frac{\partial K}{\partial P_i} = 0$ e $\dot P_i = -\frac{\partial K}{\partial Q_i} = 0$ cioè otteniamo le n costanti 5).

Nel secondo caso, quando $H (q, p)$ non dipende esplicitamente dal tempo, si cercano le trasformazioni alle nuove coordinate $Q i, P i$ imponendo che la nuova hamiltoniana sia $K = H (P i) = c 1$ . In questo caso la funzione generatrice corrisponde proprio alla funzione caratteristica di Hamilton $W (q, P)$ che soddisfa l'equazione di Hamilton-Jacobi $H\left(q_i,\frac{\partial W}{\partial q_i}\right) - c_1 = 0$ . Le equazioni del moto diventano banalmente $\dot Q_i = \frac{\partial K}{\partial P_i} = c_i$ e $\dot P_i = -\frac{\partial K}{\partial Q_i} = 0$ cioè otteniamo le (n-1) costanti 10).

[modifica] Voci correlate

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