Parentesi di Poisson

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Per parentesi di Poisson si intende una costruzione differenziale della forma

$[u,v] = \sum_{i=1}^n \left( \frac{\partial u}{\partial q_i} \frac{\partial v}{\partial p_i} - \frac{\partial u}{\partial p_i} \frac{\partial v}{\partial q_i} \right)$

dove $u(\mathbf{q},\mathbf{p})$ e $v(\mathbf{q},\mathbf{p})$ sono funzioni di $2 n$ variabili $\mathbf{q}=(q_1,...,q_n)$ e $\mathbf{p}=(p_1,...,p_n)$ .

Le parentesi di Poisson sono state introdotte nel 1809 da Simeon Poisson. Spesso per esse, invece di una notazione come $[u, v]$ , si usa la notazione ${u, v}$ .

Indice

1 Proprietà
2 Parentesi di Poisson invarianti
3 Equazioni del moto in forma di parentesi di Poisson
4 Voci correlate
5 Bibliografia

[modifica] Proprietà

Innanzitutto si può dimostrare facilmente che per qualsiasi funzione u:

$1) \ [u,u] = 0$

e la parentesi di Poisson con una qualsiasi costante k è anch'essa nulla:

$2) \ [u,k] = 0$

Le parentesi di Poisson sono forme bilineari anticommutative nei due argomenti u e v, cioè tali che

$3) \ [u,v]\,=\,-[v,u]$

Inoltre dalle proprietà del calcolo differenziale segue:

$4) \ [u + v,w] = [u,w] + [v,w]$

$5) \ [u,vw] = [u, v]w + v[u,w]$

e sono tali da soddisfare l'identità di Jacobi

$6) \ [[u,v],w] + [[v,w],u] + [[w,u],v] \,=\, 0$ .

Come ha osservato Carl Jacobi, le parentesi di Poisson sono utili allo studio dei sistemi di equazioni differenziali alle derivate parziali del primo ordine. Inoltre costituiscono uno strumento importante per il trattamento delle grandezze dinamiche espresse come funzioni delle coordinate canoniche nella meccanica analitica. Inoltre hanno corrispondenze nella Meccanica quantistica.

[modifica] Parentesi di Poisson invarianti

Le parentesi di Poisson sono valgono per qualsiasi sistema di coordiante poiché valgono sempre:

[p i, p j] = 0

[q i, q j] = 0

Questo vuol dire che in definitiva:

[q i, p j] = δ i j

dove $δ i j$ è il delta di Kronecker; queste sono dette parentesi fondamentali di Poisson.

Questo risultato ci dimostra che le parentesi di Poisson sono indipendenti dal sistema di coordinate, pensiamo $q i, p i$ ottenuto da trasformazioni delle variabili $Q i (q i, p i), P i (q i, p i)$ allora costruendo le parentesi di Poisson di queste ultime:

$I) \ [u,v]_{Q,P} = \sum_{i=1}^n \left( \frac{\partial u}{\partial Q_i} \frac{\partial v}{\partial P_i} - \frac{\partial u}{\partial P_i} \frac{\partial v}{\partial Q_i} \right)$

Ora facciamo vedere la dipendenza delle nuove coordinate Q e P funzioni delle vecchie coordinate:

$II) \ [u,v]_{q,p} = \sum_{i=1}^n \left(\frac{\partial u}{\partial Q_i} \ [ u , Q_i ]_{q,p} + \frac{\partial v}{\partial P_i} \ [ u,P_i ]_{q,p} \right)$

Da questa equazione è facile con opportune sostituzioni ricavare le parentesi di Poisson relative alla funzione u con le nuove coordinate Q, sostituendo $u \longrightarrow Q_j$ e $v \longrightarrow u$ :

$[Q_j,u]_{q,p} = \sum_{j=1}^n \frac{\partial u}{\partial Q_j} \ [ Q_i , Q_j ]_{q,p} + \frac{\partial u}{\partial P_j} \ [ Q_i,P_j ]_{q,p}$

Ma le parentesi di Poisson a secondo membro sono proprio le parentesi di Poisson fondamentali: la prima si annulla, la seconda vale 1; dunque:

$[Q_j,u]_{q,p} = \sum_{j=1}^n \frac{\partial u}{\partial P_j} \delta_{j,i}$

$III) \ [u,Q_j] = - \frac{\partial u}{\partial P_j}$

Analogamente si ottiene la parentesi di Poisson tra la funzione u e le coordinate P:

$IV) \ [u,P_j] = \frac{\partial u}{\partial P_j}$

Sostituendo la III) e la IV) nella II) si ottiene la I):

$I) \ [u,v]_{Q,P} = \sum_{i=1}^n \left( \frac{\partial u}{\partial Q_i} \frac{\partial v}{\partial P_i} - \frac{\partial u}{\partial P_i} \frac{\partial v}{\partial Q_i} \right) = [u,v]_{q,p}$

[modifica] Equazioni del moto in forma di parentesi di Poisson

Dalla III) e dalla IV) equazione ottenuta sopra, possiamo dedurre le equazioni di Hamilton sostituendo alla generica funzione u, l'Hamiltoniana H:

$[q_i,H] = \frac{\partial H}{\partial p_i} = \dot q_i$

$[p_i,H] = - \frac{\partial H}{\partial q_i} = \dot p_i$

Inoltre possiamo ottenere l'equazione dell'hamiltoniana:

$[H,H] + \frac{\partial H}{\partial t} = \frac{dH}{dt}$

dalla quale:

$\frac{\partial H}{\partial t} = \frac{dH}{dt}$ .

Nella forma delle parentesi di Poisson le grandezze conservate avranno parentesi di Poisson con H uguali a zero e viceversa.

[modifica] Voci correlate

[modifica] Bibliografia

Simeon Poisson (1809): J. Ecole Polytechn., 8 pp. 266-344
Herbert Goldstein: Meccanica classica.

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