Trasformata di Laplace

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

In matematica e in particolare nell'analisi funzionale la trasformata di Laplace di una funzione f (t ) (definita per tutti i numeri reali) è la funzione F (s ):

$F(s) = \left\{\mathcal{L} f\right\}(s) =\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-st} f(t)\,dt.$

La trasformata di Laplace è una funzione lineare che permette di passare dallo studio di una variabile temporale (reale) allo studio di una variabile complessa, e viceversa.

Questa trasformata integrale ha numerose proprietà che la rendono utile per l'analisi dei sistemi dinamici lineari. Il vantaggio più significativo è che l'integrale e la derivata diventano una moltiplicazione e una divisione rispettivamente. (Questo assomiglia al modo in cui i logaritmi cambiano la moltiplicazione di numeri nella loro addizione). Essa trasforma le equazioni integrali e le equazioni differenziali in equazioni polinomiali, che sono molto più facili da risolvere. L'inversa (detta antitrasformata) è l'Integrale di Bromwich (o di Bromwich-Mellin o anche di Riemann-Fourier) che è un integrale complesso.

Anche la risposta (l'uscita) di un sistema dinamico lineare può essere calcolata come prodotto di convoluzione della sua risposta impulsiva unitaria con il segnale d'ingresso. Sviluppando questo calcolo nello spazio di Laplace la convoluzione diventa una moltiplicazione, che spesso rende il problema più semplice. Per maggiori informazioni si veda la Teoria del controllo.

La Trasformata di Laplace è così chiamata in onore di Pierre Simon Laplace.

Con una formulazione meno formale ma più conveniente, prevalente specialmente tra ingegneri e fisici, si scrive la trasformata nella forma seguente:

$F(s) = \mathcal{L} \left\{f(t)\right\} =\int_{0^-}^\infty e^{-st} f(t)\,dt.$

Nelle applicazioni ci si riferisce spesso alla sua versione unilatera definita per $t > 0$ come

$F(s) = \left\{\mathcal{L}_u f\right\}(s) =\int_{-\infty}^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt.$

La trasformata di Laplace F (s ) tipicamente esiste per tutti i numeri reali $R e (s)$ > a, dove a è una costante che dipende dal comportamento di f (t ).

La trasformata di Laplace può anche essere usata per risolvere le equazioni differenziali e trova numerose applicazioni nell'ingegneria elettrica.

Un aspetto interessante della trasformata di Laplace è che fino ad ora i matematici non conoscono il suo dominio. In altre parole non c'è una serie di regole precise per sapere se di una funzione si può fare la trasformata.

Indice

1 Proprietà
2 Trasformata di alcune funzioni notevoli
- 2.1 Altre trasformate comuni
3 Relazione con le altre trasformate
4 Esempi
- 4.1 Risoluzione di una equazione differenziale
5 =Voci correlate
- 5.1 Collegamenti esterni

[modifica] Proprietà

Linearità

$\mathcal{L}\left\{a f(t) + b g(t) \right\} = a \mathcal{L}\left\{ f(t) \right\} + b \mathcal{L}\left\{ g(t) \right\}$

n-esima potenza

$\mathcal{L}\{\,t_+^n\} = \frac {n!}{s^{n+1}}$

Derivata

$\mathcal{L}\{f'\} = s \mathcal{L}\{f\} - f(0+)$

$\mathcal{L}\{f''\} = s^2 \mathcal{L}\{f\} - s f(0+) - f'(0+)$

$\mathcal{L}\left\{ f^{(n)} \right\} = s^n \mathcal{L}\{f\} - s^{n - 1} f(0+) - \cdots - f^{(n - 1)}(0+)$

$\mathcal{L}\{ t f(t)\} = -F'(s)$

$\mathcal{L}\left\{ \frac{f(t)}{t} \right\} = \int_s^\infty F(\sigma)\, d\sigma$

Integrale

$\mathcal{L}\left\{ \int_0^t f(\tau)\, d\tau \right\} = {1 \over s} \mathcal{L}\{f\}$

Traslazione complessa

$\mathcal{L}\left\{ e^{at} f(t) \right\} = F(s - a)$

$\mathcal{L}^{-1} \left\{ F(s - a) \right\} = e^{at} f(t)$

Traslazione nel tempo

$\mathcal{L}\left\{ f(t - a) u(t - a) \right\} = e^{-as} F(s)$

$\mathcal{L}^{-1} \left\{ e^{-as} F(s) \right\} = f(t - a) u(t - a)$

Nota: $u (t)$ è la funzione a gradino unitario o Funzione gradino di Heaviside.

Moltiplicazione per t alla n-esima potenza

$\mathcal (-1)^n\ \mathcal{L}\{\,t^nf(t)\} = \frac {d^n}{ds^n}[F(s)]$

Prodotto di convoluzione

$\mathcal{L}\{f * g\} = \mathcal{L}\{ f \} \mathcal{L}\{ g \}$

Funzione periodica di periodo p

$\mathcal{L}\{ f \} = {1 \over 1 - e^{-ps}} \int_0^p e^{-st} f(t)\,dt$

[modifica] Trasformata di alcune funzioni notevoli

Funzione esponenziale

$\mathcal{L}\{\,e^{-at}\} = \frac {1}{s+a}$

Seno

$\mathcal{L}\{\,\sin(bt)\} = \frac {b}{s^2 + b^2}$

Coseno

$\mathcal{L}\{\,\cos(bt)\} = \frac {s}{s^2 + b^2}$

Seno iperbolico

$\mathcal{L}\{\,\sinh(bt)\} = \frac {b}{s^2-b^2}$

Coseno iperbolico

$\mathcal{L}\{\,\cosh(at)\} = \frac {s}{s^2 - a^2}$

Logaritmo naturale

$\mathcal{L}\{\,\ln(t)\} = - \frac{\ln(s)+\gamma}{s}$

Radice n-esima

$\mathcal{L}\{\,\sqrt[n]{t}\} = s^{-\frac{n+1}{n}} \cdot \Gamma\left(1+\frac{1}{n}\right)$

Funzione di Bessel di prima specie

$\mathcal{L}\{\,J_n(t)\} = \frac{\left(s+\sqrt{1+s^2}\right)^{-n}}{\sqrt{1+s^2}}$

Funzione di Bessel modificata di prima specie

$\mathcal{L}\{\,I_n(t)\} = \frac{\left(s+\sqrt{-1+s^2}\right)^{-n}}{\sqrt{-1+s^2}}$

Funzione errore o Funzione erf

$\mathcal{L}\{\,\operatorname{erf}(t)\} = {e^{s^2/4} \operatorname{erfc} \left(s/2\right) \over s}$

[modifica] Altre trasformate comuni

Trasformata di Laplace	Funzione temporale
$1$	$δ(t)$ , Delta di Dirac
$\frac{1}{s}$	$Θ(t)$ , Funzione gradino di Heaviside
$\frac{1}{(s+a)^n}$	$\frac{t^{n-1}}{(n-1)!}e^{-at}$
$\frac{1}{s(s+a)}$	$\frac{1-e^{-at}}{a}$
$\frac{1}{(s+a)(s+b)}$	$\frac{1}{b-a}\left(e^{-at}-e^{-bt}\right)$
$\frac{s+c}{(s+a)^2+b^2}$	$e^{-at}\left(\cos{(bt)}+\left(\frac{c-a}{b}\right)\sin{(bt)}\right)$
$\frac{\sin\varphi s+a\cos\varphi}{s^2+a^2}$	$\sin{(at+\varphi)}$