Vikipedio:Projekto matematiko/Laplaca konverto

El Vikipedio

Ĉi tiu artikolo montras stilajn aŭ/kaj gramatikajn aŭ/kaj strukturajn problemojn kaj bezonas poluradon por konformi al pli bona nivelo de kvalito. Post plibonigo movu la artikolon al
Laplaca konverto
(eble la nomo mem bezonas korekton) Se la ligo estas ruĝa, vi povas movi la artikolon. Se la ligo estas blua, la alia artikolo pri la temo jam ekzistas kaj tiun kaj ĉi tiun artikolon necasas kunigi.

En matematiko, la Laplaca konverto estas pova tekniko por analizantaj linearaj tempo-invariantaj sistemoj kiel elektraj cirkvitoj, harmonaj osciloj, optika (aranĝaĵoj, aranĝaĵas, disponaĵoj, disponaĵas, aparatoj, aparatas), kaj mekanikaj sistemoj, al nomo (justa, ĵus) kelkaj. Donita simpla matematika aŭ (funkcionalo, funkcia) priskribo de (enigo, enigi) aŭ (eligi, eligo) al sistemo, la Laplaca konverto provizas alternativo (funkcionalo, funkcia) priskribo (tiu, ke, kiu) ofte (simpligas, plisimpligas) la procezo de analizanta la konduto de la sistemo, aŭ en _synthesizing_ nova sistemo bazita sur aro de (konstruplano, specifiloj, specifas).

La Laplaca konverto estas grava koncepto de la branĉo de matematiko (nomita, vokis) funkcionala analitiko.

En reala, fizikaj sistemoj, la Laplaca konverto estas ofte interpretita kiel transformo de la tempo-domajno punkto de vido, en kiu (enigoj, enigas) kaj (eligas, eligoj) estas komprenita kiel funkcioj de tempo, al la frekvenco-domajno punkto de vido, kie la sama (enigoj, enigas) kaj (eligas, eligoj) estas vidita kiel funkcioj de kompleksa akraflanka frekvenco, aŭ (radianoj, radianas) por unua tempo. Ĉi tiu transformo ne nur provizas fundamente malsama vojo al kompreni la konduto de la sistemo, sed ĝi ankaŭ _drastically_ reduktas la komplekseco de la matematikaj kalkuloj postulis al analizi la sistemo.

La Laplaca konverto havas multaj gravaj aplikoj en fiziko, optiko, elektra inĝenierado, regi inĝenierado, signal-prilaborado, kaj teorio de probabloj.

La Laplaca konverto estas nomita en (honori, moŝto) de matematikisto kaj (astronomo, astronomiisto) Pierre-Simon LAPLACE, kiu uzita la (konverti, konverto) en lia laboro sur teorio de probabloj. La (konverti, konverto) estis esplorita originale per Leonhard EULER, la fruktodona dek-oka-jarcento (Svisa, Sviso) matematikisto.

Enhavo

1 Formala difino
2 Regiono de konverĝo
3 Inversa Laplaca konverto
4 Ambaŭflanka Laplaca konverto
5 Laplaca konverto de funkcia derivaĵo
6 Aplikoj
7 Interrilato al alia (konvertas, konvertoj)
8 Propraĵoj kaj (teoremoj, teoremas)
9 (Baremo, Tabelo, Tablo) de (elektita, elektis) Laplacaj konvertoj
10 (Ekzemploj, Ekzemplas): Kiel al apliki la propraĵoj kaj (teoremoj, teoremas)
11 Referencoj
12 Vidu ankaŭ jenon:
13 Ekstera (ligoj, ligas)

[redaktu] Formala difino

La Laplaca konverto de funkcio f(t), difinis por ĉiuj reelaj nombroj t ≥ 0, estas la funkcio F(s), difinis per:

$F(s) = \mathcal{L} \left\{f(t)\right\} =\int_{0^-}^\infty e^{-st} f(t)\,dt.$

La limesinfimo de $0 -$ estas mallonga skribmaniero al (meznombro, signifi) $\lim_{\epsilon \rightarrow +0} -\epsilon \$ kaj certigas la inkluziveco de la tuta Diraka delta funkcio $\delta (t) \$ je 0 se estas tia impulso en f(t) je 0.

La parametro s estas en ĝenerala komplekso:

$s = \sigma + i \omega. \,$

Ĉi tiu integrala konverto havas nombro de propraĵoj (tiu, ke, kiu) fari ĝi utila por analizantaj linearaj dinamikaj sistemoj. La plej grava avantaĝo estas (tiu, ke, kiu) diferencialado kaj integralado iĝi multipliko kaj divido, respektive, kun $s$ . (Ĉi tiu estas simila al la vojo (tiu, ke, kiu) (logaritmoj, logaritmas) ŝanĝi operacio de multipliko de nombroj al aldono de ilia (logaritmoj, logaritmas).) Ĉi tiu ŝanĝas integralaj ekvacioj kaj diferencialaj ekvacioj al polinomaj ekvacioj, kiu estas multa pli simpla al solvi.

[redaktu] Regiono de konverĝo

La Laplaca konverto F(s) tipe ekzistas por ĉiuj kompleksaj nombroj tia (tiu, ke, kiu) Re{s} > a, kie a estas (reala, reela) konstanto kiu dependas sur la kreska konduto de f(t), (dum, ĉar) la duflanka (konverti, konverto) estas difinita en limigo a < Re{s} < b. La subaro de (valoroj, valoras) de s por kiu la Laplaca konverto ekzistas estas (nomita, vokis) la regiono de konverĝo (_ROC_) aŭ la domajno de konverĝo. En la duflanka (kesto, okazo), ĝi estas iam (nomita, vokis) la filmo de konverĝo.

Estas ne specifaj kondiĉoj tiu povas kontroli funkcio kontraŭ al scii totale (okazoj, skatoloj, kestoj, kestas, okazas) se ĝia Laplaca konverto povas esti prenita, escepte al diri la difinanta integralo konverĝas. Ĝi estas tamen facila al doni (teoremoj, teoremas) sur (okazoj, skatoloj, kestoj, kestas, okazas) kie ĝi (majo, povas) aŭ (majo, povas) ne esti prenita.

[redaktu] Inversa Laplaca konverto

La inversa Laplaca konverto estas la _Bromwich_ integralo, kiu estas kompleksa integralo donita per:

$f(t) = \mathcal{L}^{-1} \left\{F(s)\right\} = \frac{1}{2 \pi \imath} \int_{ \gamma - \imath \infty}^{ \gamma + \imath \infty} e^{st} F(s)\,ds,$

kie $\gamma \$ estas reela nombro tiel ke la kontura vojo de integralado estas en la regiono de konverĝo de $F(s) \$ normale postulanta $\gamma > \operatorname{Re}(s_p) \$ por ĉiu specialaĵo $s_p \$ de $F(s) \$ kaj $\imath=\sqrt{-1}$ . Se ĉiuj (kuriozecoj, specialaĵoj, specialaĵas) estas en la (maldekstre, restis) duonebeno, tio estas $\operatorname{Re}(s_p) < 0 \$ por ĉiu $s_p \$ , tiam $\gamma \$ povas esti aro al nulo kaj la pli supre inversa integrala formulo pli supre iĝas identa al la inversa Konverto de Fourier.

[redaktu] Ambaŭflanka Laplaca konverto

Kiam unu diras "la Laplaca konverto" sen (kompetento, kompetenteco), la unuflanka aŭ unuflanka (konverti, konverto) estas normale intencita. La Laplaca konverto povas esti alternative difinita kiel la ambaŭflanka Laplaca konverto aŭ duflanka Laplaca konverto per etendanta la limigoj de integralado al esti la tuta (reala, reela) akso. Se tio estas farita la komuna unuflanka (konverti, konverto) simple iĝas speciala okazo de la ambaŭflanka (konverti, konverto) kie la difino de la funkcio estante konvertis estas (obligita, multiplikita) per la Hevisida ŝtupara funkcio.

La ambaŭflanka Laplaca konverto estas difinita kiel sekvas:

$F(s) = \mathcal{L}\left\{f(t)\right\} =\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-st} f(t)\,dt.$

[redaktu] Laplaca konverto de funkcia derivaĵo

Ĝi estas ofte oportuna al uzi la diferencialada propraĵo de la Laplaca konverto al trovi la (konverti, konverto) de funkcia derivaĵo. Por la unuflanka (kesto, okazo), ĉi tiu (maniero, proksimiĝi, proksimiĝo) iĝas:

$\mathcal{L}\left\{ { df \over dt } \right\} = s \int_{0^-}^{+\infty} e^{-st} f(t)\,dt - f(0) = s \cdot \mathcal{L} \{ f(t) \} - f(0)$

Kaj en la ambaŭflanka (kesto, okazo), ni havi

$\mathcal{L}\left\{ { df \over dt } \right\} = s \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-st} f(t)\,dt = s \cdot \mathcal{L} \{ f(t) \}$

[redaktu] Aplikoj

La Laplaca konverto estas uzita ofte en inĝenierado kaj fiziko; la (eligi, eligo) de lineara dinamika sistemo povas esti kalkulita per _convolving_ ĝia unua impulsa respondo kun la (enigo, enigi) signali. Plenumante ĉi tiu kalkulo en Laplaca spaco (kurbiĝoj, kurbiĝas, turnas, tornas, kurbigas) la rulumo enen multipliko; la lasta estante pli simpla al solvi pro ĝia algebra prezento. Por pli informo, vidi rega teorio.

La Laplaca konverto povas ankaŭ kutimi solvi diferencialaj ekvacioj kaj estas uzita (mult)amplekse en elektra inĝenierado.

Jeno (ekzemploj, ekzemplas), derivita de aplikoj en fiziko kaj inĝenierado, estos uzi Sistemo Internacia de Unuoj (unuoj, unuas) de mezuri. Sistemo Internacia de Unuoj estas bazita sur (nombriloj, nombras, metroj, metras) por distanco, (kilogramoj, kilogramas) por (maso, amaso), (sekundoj, sekundas, sekundantoj, sekundantas) por tempo, kaj (amperoj, amperas) por elektro aktuala.

[redaktu] Ekzemplo #1: Solvanta diferenciala ekvacio

Jena ekzemplo estas bazita sur (konceptoj, konceptas) de kernfiziko.

Konsideri jeno unua-(mendi, ordo), lineara diferenciala ekvacio:

$\frac{dN}{dt} = -\lambda N.$

Ĉi tiu ekvacio estas la fundamenta interrilata priskribanta radioaktiva kadukiĝo, kie

$N \ = \ N(t)$

prezentas la nombro de _undecayed_ (atomoj, atomas) cetera en specimeno de radioaktiva izotopo je tempo t (en (sekundoj, sekundas, sekundantoj, sekundantas)), kaj $\ \lambda$ estas la kadukiĝa konstanto (en (radianoj, radianas) por (sekundo, dua)).

Ni povas uzi la Laplaca konverto al solvi ĉi tiu ekvacio.

Reordiganta la ekvacio al unu flanko, ni havi

$\frac{dN}{dt} + \lambda N = 0$

Venonta, ni preni la Laplaca konverto de ambaŭ flankoj de la ekvacio:

$\left( s \tilde{N}(s) - N_o \right) + \lambda \tilde{N}(s) \ = \ 0$

kie

$\tilde{N}(s) = \mathcal{L}\{N(t)\}$

kaj

$N_o \ = \ N(t)|_{t=0}.$

Solvanta, ni trovi

$\tilde{N}(s) = { N_o \over s + \lambda }.$

Fine, ni preni la inversa Laplaca konverto al trovi la ĝenerala solvaĵo:

$N(t) \ = \ N_o e^{-\lambda t}$

kiu estas ja la (ĝusta, ĝustigi, korekti) (formo, formi) por radioaktiva kadukiĝo.

[redaktu] Ekzemplo #2: Derivanta la kompleksa impedanco por kondensatoro

Ĉi tiu ekzemplo estas bazita sur la (principoj, principas) de elektra cirkvita teorio.

La _constitutive_ rilato reganta la dinamika konduto de kondensatoro estas jena diferenciala ekvacio:

$i = C { dv \over dt}$

kie C estas la kapacitanco (en (faradoj, faradas)) de la kondensatoro, mi = mi(t) estas la elektra aktuala (en (amperoj, amperas)) fluanta tra la kondensatoro kiel funkcio de tempo, kaj v = v(t) estas la tensio (en (voltoj, voltas)) transa la (stacidomoj, stacidomas, terminaloj, terminalas) de la kondensatoro, ankaŭ kiel funkcio de tempo.

Prenante la Laplaca konverto de ĉi tiu ekvacio, ni ricevi

$I(s) = C \left( s V(s) - V_o \right)$

kie

$I(s) = \mathcal{L} \{ i(t) \}$ ,

$V(s) = \mathcal{L} \{ v(t) \}$ , kaj

$V_o \ = \ v(t)|_{t=0}.$

Solvanta por V(s) ni havi

$V(s) = { I(s) \over Cs } + { V_o \over s }.$

La difino de la kompleksa impedanco Z (en omoj) estas la rilatumo de la kompleksa tensio V (dividita, dividis) per la komplekso aktuala Mi dum (tenante, tenanta) la komenca (ŝtato, stato, stati) V_o je nulo:

$Z(s) = { V(s) \over I(s) } \bigg|_{V_o = 0}.$

Uzanta ĉi tiu difino kaj la antaŭa ekvacio, ni trovi:

$Z(s) = { 1 \over Cs }$

kiu estas la (ĝusta, ĝustigi, korekti) esprimo por la kompleksa impedanco de kondensatoro.

[redaktu] Ekzemplo #3: Trovanta la tradona funkcio de la impulsa respondo

_300px_

Ĉi tiu ekzemplo estas bazita sur (konceptoj, konceptas) de signal-prilaborado, kaj priskribas la dinamika konduto de amortizis harmona oscilo. Vidu ankaŭ jenon: _RLC_ cirkvito.

Konsideri lineara tempo-invarianta sistemo kun impulsa respondo

$h(t) = A e^{- \alpha t} \cos(\omega_d t - \phi_d) \,$

tia (tiu, ke, kiu)

$\omega_d t - \phi_d \ge 0 \,$

kie t estas la tempo (en (sekundoj, sekundas, sekundantoj, sekundantas)), kaj

$0 \le \phi_d \le 2 \pi$

estas la faza malfruo (en (radianoj, radianas)).

Supozi (tiu, ke, kiu) ni bezono al trovi la tradona funkcio de la sistemo. Ni komenci per notanta (tiu, ke, kiu)

$h(t) = A e^{- \alpha t} \cos \left[ \omega_d (t - t_d) \right] \cdot u(t - t_d) \,$

kie

$t_d = { \phi_d \over \omega_d }$

estas la tempa malfruo de la sistemo (en (sekundoj, sekundas, sekundantoj, sekundantas)), kaj $\ u(t) \$ estas la Hevisida ŝtupara funkcio.

La tradona funkcio estas simple la Laplaca konverto de la impulsa respondo:

$H(s) \ = \ \mathcal{L} \{ h(t) \} = A e^{-s t_d} {(s + \alpha) \over (s + \alpha)^2 + \omega_d^2 }$

$= \ A e^{-s t_d} {(s + \alpha) \over (s^2 + 2 \alpha s + \alpha^2) + \omega_d^2 }$

$= \ A e^{-s t_d} {(s + \alpha) \over (s^2 + 2 \alpha s + \omega_0^2 ) }$

kie

$\omega_0 = \sqrt{\alpha^2 + \omega_d^2}$

estas la (_undamped_) natura frekvenco aŭ resonado de la sistemo (en (radianoj, radianas) por (sekundo, dua)).

[redaktu] Interrilato al alia (konvertas, konvertoj)

[redaktu] Konverto de Fourier

La kontinua fourier-a konverto estas ekvivalento al pritaksanta la ambaŭflanka Laplaca konverto kun kompleksa argumento $s = i ω$ :

$F(\omega) = \mathcal{F}\left\{f(t)\right\}$

$= \mathcal{L}\left\{f(t)\right\}|_{s = i \omega} = F(s)|_{s = i \omega}$

$= \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\imath \omega t} f(t)\,\mathrm{d}t.$

(Tononomo, Noto, Noti) (tiu, ke, kiu) ĉi tiu esprimo ekskludas la (krustanta, skalanta) faktoro $\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}$ , kiu estas ofte inkluzivita en (difinoj, difinas) de la Konverto de Fourier.

Ĉi tiu interrilato inter la Laplaco kaj Fourier-a (konvertas, konvertoj) estas ofte kutima difini la frekvenca spektro de signali aŭ dinamika sistemo.

[redaktu] _Mellin_ (konverti, konverto)

La _Mellin_ (konverti, konverto) kaj ĝia inverso estas rilatanta al la duflanka Laplaca konverto per simpla ŝanĝi de (variabloj, variablas). Se en la _Mellin_ (konverti, konverto)

$G(s) = \mathcal{M}\left\{g(\theta)\right\} = \int_0^\infty \theta^s g(\theta) \frac{d\theta}{\theta}$

ni aro $θ = exp( - t)$ ni preni duflanka Laplaco (konverti, konverto).

[redaktu] Z-konverto

La Z-konverto estas simple la Laplaca konverto de ideale specimenis signali kun la anstataŭo de

$z \equiv e^{s T} \$

kie $T = 1/f_s \$ estas la specimenanta (periodo, punkto) (en (unuoj, unuas) de tempo e.g. (sekundoj, sekundas, sekundantoj, sekundantas)) kaj $f_s \$ estas la specimenanta kurzo (en specimenoj por (sekundo, dua) aŭ herco)

Estu

$q(t) \equiv \sum_{n=0}^{\infty} \delta(t - n T)$

esti specimenanta impulsa trajno (ankaŭ (nomita, vokis) Diraka kombilo) kaj

$x_q(t) \equiv x(t) q(t) = x(t) \sum_{n=0}^{\infty} \delta(t - n T)$

$= \sum_{n=0}^{\infty} x(n T) \delta(t - n T) = \sum_{n=0}^{\infty} x[n] \delta(t - n T)$

esti la kontinua-tempa prezento de la specimenis $x(t) \$ .

$x[n] \equiv x(nT) \$ estas la diskretaj specimenoj de $x(t) \$ .

La Laplaca konverto de la specimenis signali $x_q(t) \$ estas

$X_q(s) = \int_{0^-}^{\infty} x_q(t) e^{-s t} \,dt$

$\ = \int_{0^-}^{\infty} \sum_{n=0}^{\infty} x[n] \delta(t - n T) e^{-s t} \, dt$

$\ = \sum_{n=0}^{\infty} x[n] \int_{0^-}^{\infty} \delta(t - n T) e^{-s t} \, dt$

$\ = \sum_{n=0}^{\infty} x[n] e^{-n s T}.$

Ĉi tiu estas precize la difino de la Z-konverto de la diskreta funkcio $x[n] \$

$X(z) = \sum_{n=0}^{\infty} x[n] z^{-n}$

kun la anstataŭo de $z \leftarrow e^{s T} \$ .

(Komparanta, Kontrastiganta) la lasta du ekvacioj, ni trovi la interrilato inter la Z-konverto kaj la Laplaca konverto de la specimenis signali:

$X_q(s) = X(z) \Big|_{z=e^{sT}}.$

[redaktu] Borelo (konverti, konverto)

La integralo (formo, formi) de la Borelo (konverti, konverto) estas identa al la Laplaca konverto; ja, ĉi tiuj estas iam erare alprenis al esti sinonimoj. La ĝeneraligis Borelo (konverti, konverto) ĝeneraligas la Laplaca konverto por funkcioj ne de eksponenta funkcia tipo.

[redaktu] Fundamentaj interrilatoj

Ekde ordinara Laplaca konverto povas esti skribita kiel speciala okazo de duflanka (konverti, konverto), kaj ekde la duflanka (konverti, konverto) povas esti skribita kiel la (sumo, sumi) de du unuflanka (konvertas, konvertoj), la teorio de la Laplaco-, Fourier-a-, _Mellin_-, kaj (Z-konvertoj, Z-konvertas) estas je fundo la sama subjekto. Tamen, malsama punkto de vido kaj malsama karakterizo (problemoj, problemas) estas asociita kun ĉiu de ĉi tiuj kvar majoraj integralaj konvertoj.

[redaktu] Propraĵoj kaj (teoremoj, teoremas)

Donita la funkcioj f(t) kaj g(t), kaj iliaj respektivaj Laplacaj konvertoj F(s) kaj G(s):

$f(t) = \mathcal{L}^{-1} \{ F(s) \}$

$g(t) = \mathcal{L}^{-1} \{ G(s) \}$

jeno estas listo de propraĵoj de la Laplaca konverto:

Lineareco

$\mathcal{L}\left\{a f(t) + b g(t) \right\} = a F(s) + b G(s)$

Diferencialado

$\mathcal{L}\{f'\} = s \mathcal{L}\{f\} - f(0)$

$\mathcal{L}\{f''\} = s^2 \mathcal{L}\{f\} - s f(0) - f'(0)$

$\mathcal{L}\left\{ f^{(n)} \right\} = s^n \mathcal{L}\{f\} - s^{n - 1} f(0) - \cdots - f^{(n - 1)}(0)$

Frekvenca divido

$\mathcal{L}\{ t f(t)\} = -F'(s)$

$\mathcal{L}\{ t^{n} f(t)\} = (-1)^{n} F^{(n)}(s)$

Frekvenca integralado

$\mathcal{L}\left\{ \frac{f(t)}{t} \right\} = \int_s^\infty F(\sigma)\, d\sigma$

Integralado

$\mathcal{L}\left\{ \int_0^t f(\tau)\, d\tau \right\} = \mathcal{L}\left\{ u(t) * f(t)\right\} = {1 \over s} F(s)$

(Krustanta, Skalanta)

$\mathcal{L} \left\{ f(at) \right\} = {1 \over a} F \left ( {s \over a} \right )$

Komenca valora teoremo

$f(0^+)=\lim_{s\to \infty}{sF(s)}$

Fina valora teoremo

$f(\infty)=\lim_{s\to 0}{sF(s)}$ , ĉiuj (polusoj, polusas) en (maldekstre, restis)-mana ebeno.

La fina valora teoremo estas utila ĉar ĝi donas la longtempa konduto sen havanta al (aperi, plenumi) parta frakcio (malkomponaĵoj, malkomponaĵas) aŭ alia malfacila algebro. Se funkcioj (polusoj, polusas) estas en la (ĝusta, dekstra, rajto) mana ebeno (e.g.

e t

aŭ

sin(t)

) la konduto de ĉi tiu formulo estas nedefinita.

Frekvenco (skipanta, ŝovanta)

$\mathcal{L}\left\{ e^{at} f(t) \right\} = F(s - a)$

$\mathcal{L}^{-1} \left\{ F(s - a) \right\} = e^{at} f(t)$

Tempo (skipanta, ŝovanta)

$\mathcal{L}\left\{ f(t - a) u(t - a) \right\} = e^{-as} F(s)$

$\mathcal{L}^{-1} \left\{ e^{-as} F(s) \right\} = f(t - a) u(t - a)$

(Tononomo, Noto, Noti):

u (t)

estas la Hevisida ŝtupara funkcio.

$n$ (th, -a)-povo (skipanta, ŝovanta)

$\mathcal{L}\{\,t^nf(t)\} = (-1)^nD_s^n[F(s)]$

Rulumo

$\mathcal{L}\{f(t) * g(t)\} = F(s) \cdot G(s)$

Perioda Funkcio (periodo, punkto) $T$

$\mathcal{L}\{ f \} = {1 \over 1 - e^{-Ts}} \int_0^T e^{-st} f(t)\,dt$

[redaktu] (Baremo, Tabelo, Tablo) de (elektita, elektis) Laplacaj konvertoj

Jeno (baremo, tabelo, tablo) provizas Laplacaj konvertoj por multaj komunaj funkcioj de sola (variablo, varianta). Por (difinoj, difinas) kaj eksplikoj, vidi la _Explanatory_ (Tononomoj, Notoj, Notas) je la fino de la (baremo, tabelo, tablo):

<(baremo, tabelo, tablo) width="720" border="2" cellspacing="0" cellpadding="6">

<_tr_ style="background-color: #AAEECC; ">

</(baremo, tabelo, tablo)> </(baremo, tabelo, tablo)>

[redaktu] (Ekzemploj, Ekzemplas): Kiel al apliki la propraĵoj kaj (teoremoj, teoremas)

Redaktila (tononomo, noto, noti): Jeno (ekzemploj, ekzemplas) ilustri la uzi de la propraĵoj kaj (teoremoj, teoremas) al derivi nekonato (konverti, konverto) paro de (termo, koeficiento, elemento) en la (baremo, tabelo, tablo) de komuna (konverti, konverto) (paroj, paras). Detalita ekspliko de (Ekzemploj, Ekzemplas) 2 kaj 3 estos esti ellaborita en la proksima estonto.

[redaktu] Ekzemplo #1: Maniero de parta frakcia elvolvaĵo

Konsideri lineara tempo-invarianta sistemo kun tradona funkcio

$H(s) = \frac{1}{(s+\alpha)(s+\beta)}$

La impulsa respondo estas simple la inversa Laplaca konverto de ĉi tiu tradona funkcio:

$h(t) = \mathcal{L}^{-1}\{H(s)\}$

Al pritaksi ĉi tiu inverso (konverti, konverto), ni komenci per elvolvanta H(s) uzanta la maniero de parta frakcia elvolvaĵo:

$H(s) = \frac{1}{(s+\alpha)(s+\beta)} = { P \over (s+\alpha) } + { R \over (s+\beta) }$

por nekonato (konstantoj, konstantas) P kaj R. Al trovi ĉi tiuj (konstantoj, konstantas), ni pritaksi

$P = \left.{1 \over (s+\beta)}\right|_{s=-\alpha} = {1 \over (\beta - \alpha)}$

kaj

$R = \left.{1 \over (s+\alpha)}\right|_{s=-\beta} = {1 \over (\alpha - \beta)} = {-1 \over (\beta - \alpha)} = - P$

Anstataŭiganta ĉi tiuj (valoroj, valoras) enen la esprimo por H(s), ni trovi

$H(s) = \left( \frac{1}{\beta-\alpha} \right) \cdot \left( { 1 \over (s+\alpha) } - { 1 \over (s+\beta) } \right)$

Fine, uzanta la lineareca propraĵo kaj la sciata (konverti, konverto) por eksponenta funkcia kadukiĝo (vidi (Ero, Aĵo) #3 en la (Baremo, Tabelo, Tablo) de Laplaco (Konvertas, Konvertoj), pli supre), ni povas preni la inversa Laplaca konverto de H(s) al ricevi:

$h(t) = \mathcal{L}^{-1}\{H(s)\} = \frac{1}{\beta-\alpha}\left(e^{-\alpha t}-e^{-\beta t}\right)$ ,

kiu estas la impulsa respondo de la sistemo.

[redaktu] Ekzemplo #2: Miksanta (pekoj, sinusoj, sinusas), (kosinusoj, kosinusas), kaj (eksponentaj funkcioj, eksponencialoj, eksponencialas)

<(baremo, tabelo, tablo) border="1" cellspacing="0" cellpadding="5" width="80%">

<_tr_ style="background-color:#AAEECC;"> <(th, -a) width="66%">Tempa funkcio</(th, -a)> <(th, -a)>Laplaca konverto</(th, -a)>

</(baremo, tabelo, tablo)> Startanta kun la Laplaca konverto,

$X(s) = \frac{s+\beta}{(s+\alpha)^2+\omega^2}$

ni trovi la inverso (konverti, konverto) per unua adicianta kaj subtrahanta la sama konstanto α al la numeratoro:

$X(s) = \frac{s+\alpha } { (s+\alpha)^2+\omega^2} + \frac{\beta - \alpha }{(s+\alpha)^2+\omega^2}$

Per la (ŝovi, ŝovo)-en-frekvenca propraĵo, ni havi

$x(t) = e^{-\alpha t} \mathcal{L} \left\{ {s \over s^2 + \omega^2} + { \beta - \alpha \over s^2 + \omega^2 } \right\}$

$= e^{-\alpha t} \mathcal{L} \left\{ {s \over s^2 + \omega^2} + \left( { \beta - \alpha \over \omega } \right) \left( { \omega \over s^2 + \omega^2 } \right) \right\}$

<forta>Id</forta>	<forta>Funkcio nomo</forta>	<forta>Tempa domajno</forta> $x(t) = \mathcal{L}^{-1} \left\{ X(s) \right\}$	<forta>Frekvenca domajno</forta> $X(s) = \mathcal{L}\left\{ x(t) \right\}$	<forta>Regiono de konverĝo</forta> por kaŭzaj sistemoj
1.1	unua impulso	$\delta(t) \$	$1 \$	$\mathrm{all} \ s \,$
1.2	ideala malfruo	$\delta(t-\tau) \$	$e^{-\tau s} \$
2.1	unuo (ŝtupo, paŝi)	$1 \cdot u(t) \$	${ 1 \over s }$	$s > 0 \,$
2.2	malfruigita unuo (ŝtupo, paŝi)	$1 \cdot u(t-\tau) \$	${ e^{-\tau s} \over s }$	$s > 0 \,$
3	eksponenta funkcia kadukiĝo	$e^{-\alpha t} \cdot u(t) \$	${ 1 \over s+\alpha }$	$s > - \alpha \$
4	eksponenta funkcio (maniero, proksimiĝi, proksimiĝo)	$( 1-e^{-\alpha t}) \cdot u(t) \$	$\frac{\alpha}{s(s+\alpha)}$	$s > 0\$
5	sinuso	$\sin(\omega t) \cdot u(t) \$	${ \omega \over s^2 + \omega^2 }$	$s > 0 \$
6	kosinuso	$\cos(\omega t) \cdot u(t) \$	${ s \over s^2 + \omega^2 }$	$s > 0 \$
7	hiperbola sinuso	$\sinh(\alpha t) \cdot u(t) \$	${ \alpha \over s^2 - \alpha^2 }$	$s > \| \alpha \| \$
8	hiperbola kosinuso	$\cosh(\alpha t) \cdot u(t) \$	${ s \over s^2 - \alpha^2 }$	$s > \| \alpha \| \$
9	Eksponente-kadukiĝanta sinusa ondo	$e^{-\alpha t} \sin(\omega t) \cdot u(t) \$	${ \omega \over (s+\alpha )^2 + \omega^2 }$	$s > -\alpha \$
10	Eksponente-kadukiĝanta kosinusa ondo	$e^{-\alpha t} \cos(\omega t) \cdot u(t) \$	${ s+\alpha \over (s+\alpha )^2 + \omega^2 }$	$s > -\alpha \$
11.1	n(th, -a) povo	${ t^n \over n! } \cdot u(t)$	${ 1 \over s^{n+1} }$	$s > 0 \,$
11.2	n(th, -a) povo kun frekvenco (ŝovi, ŝovo)	$\frac{t^{n}}{n!}e^{-\alpha t} \cdot u(t)$	$\frac{1}{(s+\alpha)^{n+1}}$	$s > - \alpha \,$
12	n(th, -a) radiko	$\sqrt[n]{t} \cdot u(t)$	$s^{-(n+1)/n} \cdot \Gamma\left(1+\frac{1}{n}\right)$	$s > 0 \,$
13	natura logaritmo	$\ln \left ( { t \over t_0 } \right ) \cdot u(t)$	$- { t_0 \over s} \ [ \ \ln(t_0 s)+\gamma \ ]$	$s > 0 \,$
14	Funkcio de Bessel de la unua speco, de (mendi, ordo) n	$J_n( \omega t) \cdot u(t)$	$\frac{ \omega^n \left(s+\sqrt{s^2+ \omega^2}\right)^{-n}}{\sqrt{s^2 + \omega^2}}$	$s > 0 \,$ $(n > -1) \,$
15	Aliigita Funkcio de Bessel de la unua speco, de (mendi, ordo) n	$I_n(\omega t) \cdot u(t)$	$\frac{ \omega^n \left(s+\sqrt{s^2-\omega^2}\right)^{-n}}{\sqrt{s^2-\omega^2}}$	$s > \| \omega \| \,$
16	Funkcio de Bessel de la (sekundo, dua) speco, de (mendi, ordo) 0	$Y_0(\alpha t) \cdot u(t)$
17	Aliigita Funkcio de Bessel de la (sekundo, dua) speco, de (mendi, ordo) 0	$K_0(\alpha t) \cdot u(t)$
18	Erara funkcio	$\mathrm{erf}(t) \cdot u(t)$	${e^{s^2/4} \operatorname{erfc} \left(s/2\right) \over s}$	$s > 0 \,$
<(baremo, tabelo, tablo)>
<forta>_Explanatory_ (tononomoj, notoj, notas): </forta>
$u(t) \,$ prezentas la Hevisida ŝtupara funkcio. $\delta(t) \,$ prezentas la Diraka delta funkcio. $\Gamma (z) \,$ prezentas la Γ funkcio. $\gamma \,$ estas la Konstanto de Eŭlero-Mascheroni.	$t \,$ , reela nombro, tipe prezentas tempo, kvankam ĝi povas prezenti (ĉiu, iu) sendependa dimensio. $s \,$ estas la kompleksa akraflanka frekvenco. $\alpha \,$ , $\beta \,$ , $\tau \,$ , kaj $\omega \,$ estas reelaj nombroj. $n \,$ estas entjero.
A kaŭza sistemo estas sistemo kie la impulsa respondo h(t) estas nulo por ĉiu tempo t antaŭa al t = 0. En ĝenerala, la _ROC_ por kaŭzaj sistemoj estas ne la sama kiel la _ROC_ por malkaŭzaj sistemoj. Vidu ankaŭ jenon: kaŭzeco.
$e^{-\alpha t}\left[ \cos{(\omega t)}+\left(\frac{\beta-\alpha}{\omega}\right)\sin{(\omega t)}\right]$	$\frac{s+\beta}{(s+\alpha)^2+\omega^2}$

$= e^{-\alpha t} \left[ \mathcal{L} \left\{ {s \over s^2 + \omega^2} \right\} + \left( { \beta - \alpha \over \omega } \right) \mathcal{L} \left\{ { \omega \over s^2 + \omega^2 } \right\} \right]$

Fine, uzanta la Laplacaj konvertoj por sinuso kaj kosinuso (vidi la (baremo, tabelo, tablo), pli supre), ni havi

$x(t) = e^{-\alpha t} \left[ \cos{(\omega t)}+\left(\frac{\beta-\alpha}{\omega}\right)\sin{(\omega t)}\right]$

[redaktu] Ekzemplo #3: Faza malfruo

<(baremo, tabelo, tablo) border="1" cellspacing="0" cellpadding="5" width="80%">

<_tr_ style="background-color:#AAEECC;"> <(th, -a) width="66%">Tempa funkcio</(th, -a)> <(th, -a)>Laplaca konverto</(th, -a)>

</(baremo, tabelo, tablo)>

[redaktu] Referencoj

A. Don/Doña _Polyanin_ kaj A. V. _Manzhirov_, Gvidlibro de Integralaj Ekvacioj, _CRC_ Premi, _Boca_ _Raton_, (1998, Kategorio:1998). ISBN 0-8493-2876-4
Vilhelmo _McC_. _Siebert_, Cirkvitoj, Signalas, kaj Sistemoj, _MIT_ Premi, Cambridge (Masaĉuseco), (1986, Kategorio:1986). ISBN 0-262-19229-2