Numero poligonale
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Nella matematica, un numero poligonale è un numero che può essere disposto a raffigurare un poligono regolare. Gli antichi matematici scoprirono che alcuni numero potevano essere raffigurati in determinati modi quando rappresentati da semi o sassolini. Il numero 10, ad esempio, può formare un triangolo:
x x x x x x x x x x
ed è quindi un numero triangolare. Ma non può formare un quadrato, mentre il 9, che è per l'appunto un numero quadrato, può:
x x x x x x x x x
Alcuni numeri, come 36, posso essere rappresentati sia come quadrati che come triangoli (vedi numero quadrato triangolare):
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
x
x x
x x x
x x x x
x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x x x
I poligoni vengono estesi alla dimensione successiva prolungando di un punto due lati consecutivi e aggiungendo poi i restanti lati fra questi. Nei seguenti schemi, ogni nuovo livello è indicato dai +.
Numeri triangolari
1:
+ x
3:
x x + + x x
6:
x x x x x x + + + x x x
10:
x x x x x x x x x x x x + + + + x x x x
Numeri quadrati
1:
+ x
4:
x + x x + + x x
9:
x x + x x x x x + x x x + + + x x x
16:
x x x + x x x x x x x + x x x x x x x + x x x x + + + + x x x x
Anche poligoni con un maggior numero di lati, come i pentagoni e gli esagoni, possono essere rappresentati a punti (il primo numero poligonale, qualunque sia il numero di lati, è per convenzione 1).
Numeri pentagonali:
1:
+ x
5:
x x + + x x + + x x
12:
x x x x x x + x x + x x x x + + x x + + + x x x
22:
x x
x x x x
x x x x x x x x
+ x x + x x x x
+ x x x + x x x x x
+ + x x
+ + + + x x x x
35:
x x
x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x x
+ x x x x x + x x x x x x x
+ x x + x x x x
+ x x x x + x x x x x x
+ + x x
+ + + + + x x x x x
Numeri esagonali
1:
x
6:
x x
+ + x x
+ + x x
+ x
15:
x x
x x x x
+ x x + x x x x
+ x + x x x
+ + x x
+ + x x
+ x
28:
x x
x x x x
x x x x x x x x
+ x x x + x x x x x
+ x x + x x x x
+ x x + x x x x
+ x + x x x
+ + x x
+ + x x
+ x
45:
x x
x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x x x x
+ x x x x + x x x x x x
+ x x x x + x x x x x x
+ x x x + x x x x x
+ x x + x x x x
+ x x + x x x x
+ x + x x x
+ + x x
+ + x x
+ x
66: (che è anche un numero triangolare e sfenico)
x x
x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x
+ x x x x x x + x x x x x x x x
+ x x x x x + x x x x x x x
+ x x x x + x x x x x x
+ x x x x + x x x x x x
+ x x x + x x x x x
+ x x + x x x x
+ x x + x x x x
+ x + x x x
+ + x x
+ + x x
+ x
91:
x x
x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x x x x x
+ x x x x x x x + x x x x x x x x x
+ x x x x x x + x x x x x x x x
+ x x x x x x + x x x x x x x x
+ x x x x x + x x x x x x x
+ x x x x + x x x x x x
+ x x x x + x x x x x x
+ x x x + x x x x x
+ x x + x x x x
+ x x + x x x x
+ x + x x x
+ + x x
+ + x x
+ x
Se l è il numero di lati di un poligono, la formula per l'n-esimo numero l-poligonale è ½n((l-2)n - (l-4)).
| Nome | Formula | n=1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 |
| Triangolare | ½n(1n + 1) | 1 | 3 | 6 | 10 | 15 | 21 | 28 | 36 | 45 | 55 | 66 | 78 | 91 |
| Quadrato | ½n(2n - 0) | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 | 100 | 121 | 144 | 169 |
| Pentagonale | ½n(3n - 1) | 1 | 5 | 12 | 22 | 35 | 51 | 70 | 92 | 117 | 145 | 176 | 210 | 247 |
| Esagonale | ½n(4n - 2) | 1 | 6 | 15 | 28 | 45 | 66 | 91 | 120 | 153 | 190 | 231 | 276 | 325 |
| Ettagonale | ½n(5n - 3) | 1 | 7 | 18 | 34 | 55 | 81 | 112 | 148 | 189 | 235 | 286 | 342 | 403 |
| Ottagonale | ½n(6n - 4) | 1 | 8 | 21 | 40 | 65 | 96 | 133 | 176 | 225 | 280 | 341 | 408 | 481 |
| 9-gonale | ½n(7n - 5) | 1 | 9 | 24 | 46 | 75 | 111 | 154 | 204 | 261 | 325 | 396 | 474 | 559 |
| Decagonale | ½n(8n - 6) | 1 | 10 | 27 | 52 | 85 | 126 | 175 | 232 | 297 | 370 | 451 | 540 | 637 |
| 11-gonale | ½n(9n - 7) | 1 | 11 | 30 | 58 | 95 | 141 | 196 | 260 | 333 | 415 | 506 | 606 | 715 |
| 12-gonale | ½n(10n - 8) | 1 | 12 | 33 | 64 | 105 | 156 | 217 | 288 | 369 | 460 | 561 | 672 | 793 |
| 13-gonale | ½n(11n - 9) | 1 | 13 | 36 | 70 | 115 | 171 | 238 | 316 | 405 | 505 | 616 | 738 | 871 |
| 14-gonale | ½n(12n - 10) | 1 | 14 | 39 | 76 | 125 | 186 | 259 | 344 | 441 | 550 | 671 | 804 | 949 |
| 15-gonale | ½n(13n - 11) | 1 | 15 | 42 | 82 | 135 | 201 | 280 | 372 | 477 | 595 | 726 | 870 | 1027 |
| 16-gonale | ½n(14n - 12) | 1 | 16 | 45 | 88 | 145 | 216 | 301 | 400 | 513 | 640 | 781 | 936 | 1105 |
| 17-gonale | ½n(15n - 13) | 1 | 17 | 48 | 94 | 155 | 231 | 322 | 428 | 549 | 685 | 836 | 1002 | 1183 |
| 18-gonale | ½n(16n - 14) | 1 | 18 | 51 | 100 | 165 | 246 | 343 | 456 | 585 | 730 | 891 | 1068 | 1261 |
| 19-gonale | ½n(17n - 15) | 1 | 19 | 54 | 106 | 175 | 261 | 364 | 484 | 621 | 775 | 946 | 1134 | 1339 |
| 20-gonale | ½n(18n - 16) | 1 | 20 | 57 | 112 | 185 | 276 | 385 | 512 | 657 | 820 | 1001 | 1200 | 1417 |
| 21-gonale | ½n(19n - 17) | 1 | 21 | 60 | 118 | 195 | 291 | 406 | 540 | 693 | 865 | 1056 | 1266 | 1495 |
| 22-gonale | ½n(20n - 18) | 1 | 22 | 63 | 124 | 205 | 306 | 427 | 568 | 729 | 910 | 1111 | 1332 | 1573 |
| 23-gonale | ½n(21n - 19) | 1 | 23 | 66 | 130 | 215 | 321 | 448 | 596 | 765 | 955 | 1166 | 1398 | 1651 |
| 24-gonale | ½n(22n - 20) | 1 | 24 | 69 | 136 | 225 | 336 | 469 | 624 | 801 | 1000 | 1221 | 1464 | 1729 |
| 25-gonale | ½n(23n - 21) | 1 | 25 | 72 | 142 | 235 | 351 | 490 | 652 | 837 | 1045 | 1276 | 1530 | 1807 |
| 26-gonale | ½n(24n - 22) | 1 | 26 | 75 | 148 | 245 | 366 | 511 | 680 | 873 | 1090 | 1331 | 1596 | 1885 |
| 27-gonale | ½n(25n - 23) | 1 | 27 | 78 | 154 | 255 | 381 | 532 | 708 | 909 | 1135 | 1386 | 1662 | 1963 |
| 28-gonale | ½n(26n - 24) | 1 | 28 | 81 | 160 | 265 | 396 | 553 | 736 | 945 | 1180 | 1441 | 1728 | 2041 |
| 29-gonale | ½n(27n - 25) | 1 | 29 | 84 | 166 | 275 | 411 | 574 | 764 | 981 | 1225 | 1496 | 1794 | 2119 |
| 30-gonale | ½n(28n - 26) | 1 | 30 | 87 | 172 | 285 | 426 | 595 | 792 | 1017 | 1270 | 1551 | 1860 | 2197 |
