מספר מצולע

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

במתמטיקה, מספר מצולע, הוא מספר שניתן לארגנו בצורה של מצולע משוכלל (פוליגון). מקורם בחשיבה הפיתגוראית על מספרים, שלפיה יש לייצג אותם באמצעות עצמים מוחשיים, כגון חלוקי אבנים. הדוגמאות הפשוטות ביותר הן מספרים משולשיים, שהם מספרים מהצורה $\ \frac{n(n+1)}{2}$ , ומספרים ריבועיים, מהצורה $\ n^2$ . באופן כללי, מספרים שאפשר לסדר במצולע בן k צלעות הם מהצורה $\ n+(k-2)\frac{n(n-1)}{2}$ .

במספרים מצולעים עסקו מתמטיקאים במאות ה-17 וה-18. פרמה שער את משפט המספרים המצולעים. ב- 1730 מצא אוילר את הנוסחה הכללית למספרים שהם גם משולשים וגם ריבועיים, באמצעות פתרון של משוואת פל מתאימה.

[עריכה] דוגמאות וציורים

לדוגמה, המספר 10 הוא מספר משולשי, משום שאפשר לארגן אותו בצורת משולש משוכלל:

    * 
   * * 
  * * * 
 * * * *

את המספר 10 לא ניתן לתאר בצורת ריבוע; את 9 אפשר (ראה מספר ריבועי):

 * * * 
 * * * 
 * * *

ישנם מספרים שאפשר לארגן גם בצורת משולש וגם בצורת ריבוע, למשל 36 (ראה מספר משולשי ריבועי):

 * * * * * * 
 * * * * * * 
 * * * * * * 
 * * * * * * 
 * * * * * * 
 * * * * * * 

        * 
       * * 
      * * * 
     * * * * 
    * * * * * 
   * * * * * * 
  * * * * * * * 
 * * * * * * * *

השיטה להגדלת פוליגון לגודל הבא הוא להוסיף לשתי צלעות סמוכות נקודה אחת ואז להוסיף את כל הנקודות הדרושות לצדדים בין שתי הנקודות האלה. בדיאגרמה להלן, כל שכבה נוספת מוצגת ב o .

מספרים משולשים

1:
 o               *
3:
  *               *
 o o             * *
6:
   *               *
  * *             * *
 o o o           * * *
10:
    *               *
   * *             * *
  * * *           * * *
 o o o o         * * * *

מספרים ריבועיים

1:

 o               *

4:

 * o             * *
 o o             * *

9:

 * * o           * * *
 * * o           * * *
 o o o           * * *

16:

 * * * o         * * * *
 * * * o         * * * *
 * * * o         * * * *
 o o o o         * * * *

פוליגונים עם מספר גדול יותר של צלעות, כמו מחומשים ומשושים, יכולים להיות מיוצגים גם כן בנקודות (עם המוסכמה ש-1 הוא מספר פוליגנלי לכל מספר של צלעות).

מספרים מחומשים:

1:

 o                   *

5:

  *                   *
 o o                 * * 
 o o                 * * 

12:

    *                   *
   * *                 * *
 o * * o             * * * *
 o     o             *     *
 o  o  o             *  *  * 

22:

      *                   *
     * *                 * *
   * * * *             * * * *
 o *     * o         * *     * *
 o *  *  * o         * *  *  * *
 o         o         *         *
 o  o   o  o         *  *   *  *

35:

        *                   *
       * *                 * *
     * * * *             * * * *
   * *     * *         * *     * * 
 o * *  *  * * o     * * *  *  * * *
 o *         * o     * *         * *
 o *  *   *  * o     * *  *   *  * *
 o             o     *             *
 o  o   o   o  o     *  *   *   *  *

מספרים משושים

1:

  *

6:

     *               *  
   o   o           *   * 
   o   o           *   * 
     o               *  

15:

      *                 *   
    *   *             *   *  
  o *   * o         * *   * * 
  o   *   o         *   *   * 
  o       o         *       * 
    o   o             *   *  
      o                 *   

28:

         *                       *    
       *   *                   *   *   
     * *   * *               * *   * *  
   o *   *   * o           * *   *   * * 
   o *       * o           * *       * * 
   o   *   *   o           *   *   *   * 
   o     *     o           *     *     * 
     o       o               *       *  
       o   o                   *   *   
         o                       *    

45:

           *                           *
         *   *                       *   *    
       * *   * *                   * *   * *   
     * *   *   * *               * *   *   * *  
   o * *       * * o           * * *       * * * 
   o *   *   *   * o           * *   *   *   * * 
   o *     *     * o           * *     *     * * 
   o   *       *   o           *   *       *   * 
   o     *   *     o           *     *   *     * 
     o     *     o               *     *     *  
       o       o                   *       *   
         o   o                       *   *    
           o                           *

66: (אשר הוא גם מספר משולשי וגם מספר ספני)

           *                             *
         *   *                         *   *
       * *   * *                     * *   * *
     * *   *   * *                 * *   *   * *
   * * *       * * *             * * *       * * *
 o * *   *   *   * * o         * * *   *   *   * * *
 o * *     *     * * o         * * *     *     * * *
 o *   *       *   * o         * *   *       *   * *
 o *     *   *     * o         * *     *   *     * *
 o   *     *     *   o         *   *     *     *   *
 o     *       *     o         *     *       *     *
   o     *   *     o             *     *   *     *
     o     *     o                 *     *     *
       o       o                     *       *
         o   o                         *   *
           o                             *

91:

             *                             *
           *   *                         *   *
         * *   * *                     * *   * *
       * *   *   * *                 * *   *   * *
     * * *       * * *             * * *       * * *
   * * *   *   *   * * *         * * *   *   *   * * *
 o * * *     *     * * * o     * * * *     *     * * * *
 o * *   *       *   * * o     * * *   *       *   * * *
 o * *     *   *     * * o     * * *     *   *     * * *
 o *   *     *     *   * o     * *   *     *     *   * *
 o *     *       *     * o     * *     *       *     * *
 o   *     *   *     *   o     *   *     *   *     *   *
 o     *     *     *     o     *     *     *     *     *
   o     *       *     o         *     *       *     *
     o     *   *     o             *     *   *     *
       o     *     o                 *     *     *
         o       o                     *       *
           o   o                         *   *
             o                             *

אם s הוא מספר הצלעות של פוליגון, הנוסחה למספר s-פוליגונלי הn-י הוא $\frac{n^2 (s-2)+n(4-s)}{2}$

שם	נוסחא	n=1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
משולש	½n(1n + 1)	1	3	6	10	15	21	28	36	45	55	66	78	91
ריבוע	½n(2n - 0)	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100	121	144	169
מחומש	½n(3n - 1)	1	5	12	22	35	51	70	92	117	145	176	210	247
משושה	½n(4n - 2)	1	6	15	28	45	66	91	120	153	190	231	276	325
משובע	½n(5n - 3)	1	7	18	34	55	81	112	148	189	235	286	342	403
מתומן	½n(6n - 4)	1	8	21	40	65	96	133	176	225	280	341	408	481
מתושע	½n(7n - 5)	1	9	24	46	75	111	154	204	261	325	396	474	559
10-צלעות	½n(8n - 6)	1	10	27	52	85	126	175	232	297	370	451	540	637
11-צלעות	½n(9n - 7)	1	11	30	58	95	141	196	260	333	415	506	606	715
12-צלעות	½n(10n - 8)	1	12	33	64	105	156	217	288	369	460	561	672	793
13-צלעות	½n(11n - 9)	1	13	36	70	115	171	238	316	405	505	616	738	871
14-צלעות	½n(12n - 10)	1	14	39	76	125	186	259	344	441	550	671	804	949
15-צלעות	½n(13n - 11)	1	15	42	82	135	201	280	372	477	595	726	870	1027
16-צלעות	½n(14n - 12)	1	16	45	88	145	216	301	400	513	640	781	936	1105
17-צלעות	½n(15n - 13)	1	17	48	94	155	231	322	428	549	685	836	1002	1183
18-צלעות	½n(16n - 14)	1	18	51	100	165	246	343	456	585	730	891	1068	1261
19-צלעות	½n(17n - 15)	1	19	54	106	175	261	364	484	621	775	946	1134	1339
20-צלעות	½n(18n - 16)	1	20	57	112	185	276	385	512	657	820	1001	1200	1417
21-צלעות	½n(19n - 17)	1	21	60	118	195	291	406	540	693	865	1056	1266	1495
22-צלעות	½n(20n - 18)	1	22	63	124	205	306	427	568	729	910	1111	1332	1573
23-צלעות	½n(21n - 19)	1	23	66	130	215	321	448	596	765	955	1166	1398	1651
24-צלעות	½n(22n - 20)	1	24	69	136	225	336	469	624	801	1000	1221	1464	1729
25-צלעות	½n(23n - 21)	1	25	72	142	235	351	490	652	837	1045	1276	1530	1807
26-צלעות	½n(24n - 22)	1	26	75	148	245	366	511	680	873	1090	1331	1596	1885
27-צלעות	½n(25n - 23)	1	27	78	154	255	381	532	708	909	1135	1386	1662	1963
28-צלעות	½n(26n - 24)	1	28	81	160	265	396	553	736	945	1180	1441	1728	2041
29-צלעות	½n(27n - 25)	1	29	84	166	275	411	574	764	981	1225	1496	1794	2119
30-צלעות	½n(28n - 26)	1	30	87	172	285	426	595	792	1017	1270	1551	1860	2197