Caratteristica (algebra)
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In matematica, la caratteristica di un anello è definita come il più piccolo numero naturale n tale che l'elemento
è uguale a zero. Se questo minimo non esiste, cioè se 1+1+...+1 è sempre diverso da zero, la caratteristica è zero per definizione.
Molti risultati importanti dell'algebra lineare o della geometria algebrica richiedono che l'anello o il campo usato nella teoria abbia caratteristica zero. La presenza di una caratteristica diversa da zero può portare a fenomeni che si scontrano con l'intuizione geometrica. Altri risultati richiedono che l'anello o il campo non abbia caratteristica 2.
Indice |
[modifica] Esempi
- I campi Q, R e C dei numeri razionali, reali e numeri complessi hanno caratteristica zero.
- Un anello con un numero finito di elementi ha caratteristica diversa da zero. Ad esempio, l'anello Z/nZ delle classi di resto modulo n, ha caratteristica n.
- I numeri p-adici formano un campo di caratteristica zero, benché la loro costruzione usi una famiglia di anelli di caratteristica pk con k tendente a infinito.
[modifica] Proprietà
- L'unico anello con caratteristica 1 è quello banale (fatto di un elemento solo 0=1)
- Se A e B sono anelli e
- Un anello con un numero finito di elementi ha caratteristica diversa da zero.
- La caratteristica di un dominio d'integrità (ad esempio, di un campo) è zero oppure un numero primo.
- Se A è un sottoanello di B, ha la stessa caratteristica di B.
- Se la caratteristica di un anello A è un numero primo p, allora
(x + y)p = xp + yp per tutti gli elementi x,y in A.
[modifica] Caratteristica di un campo
Come detto sopra, la caratteristica di un campo K è zero o un numero primo. Il campo minimale fra tutti quelli che contengono l'unità 1 è un sottocampo di K che dipende dalla caratteristica: se questa è zero, è isomorfo al campo Q dei numeri razionali. Se è p, è isomorfo ad un campo finito.
Esistono campi infiniti di caratteristica p, ad esempio la chiusura algebrica di Z/pZ.
[modifica] Collegamenti esterni
- (EN) Finite fields - Wikibook.