Charakteristik (Mathematik)

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Die Charakteristik ist in der Algebra eine Kennzahl eines Ringes oder Körpers. Sie gibt an, wie oft man die im Ring bzw. Körper enthaltene Zahl 1 aufaddieren muss, um als Ergebnis 0 zu erhalten. Davon zu unterscheiden ist der mathematische Begriff Charakter. Nicht zu verwechseln ist die Charakteristik im algebraischen Sinne mit dem Begriff der Charakteristik aus der Numerik; dort bezeichnen Charakteristiken Lösungen gewisser Differentialgleichungen (siehe Methode der Charakteristiken).

Inhaltsverzeichnis 1 Definition 1.1 Bemerkung 2 Eigenschaften 2.1 Bei Ringen 2.1.1 Beispiele 2.2 Bei Körpern 2.2.1 Beispiele

[Bearbeiten] Definition

Die Charakteristik eines unitären Ringes R ist die kleinste natürliche Zahl , für die in der Arithmetik des Ringes die n-fache Summe des Einselementes 1 gleich dem Nullelement wird, also

Ist jede endliche Summe von Einsen ungleich Null (wie das zum Beispiel bei den reellen Zahlen der Fall ist), dann wird dem Ring definitionsgemäß die Charakteristik 0 zugeordnet.

Eine übliche Abkürzung der Charakteristik von R ist char(R).

Alternative Definitionsmöglichkeiten sind:

• Die Charakteristik des unitären Rings R ist der eindeutig bestimmte nichtnegative Erzeuger des Kerns des kanonischen unitären Ringhomomorphismus .
• Die Charakteristik des unitären Rings R ist die eindeutig bestimmte nichtnegative ganze Zahl n, für die R einen unitären Teilring enthält, der isomorph zum Restklassenring ist. (Beachte, dass ist.)

[Bearbeiten] Bemerkung

Obige Definitionen erklären insbesondere auch die Charakteristik von Körpern, denn jeder Körper ist ein unitärer Ring.

[Bearbeiten] Eigenschaften

[Bearbeiten] Bei Ringen

Jeder unitäre Teilring S eines unitären Rings R hat dieselbe Charakteristik wie R.

Gibt es einen Ringhomomorphismus zwischen zwei unitären Ringen R und S, so ist die Charakteristik von S ein Teiler der Charakteristik von R.

Für jeden Integritätsring (und insbesondere jeden Körper) ist die Charakteristik entweder 0 oder eine Primzahl. Im letzteren Fall spricht man auch von positiver Charakteristik.

Ist R ein unitärer Ring mit Primzahlcharakteristik p, dann gilt (x + y)^p = x^p + y^p für alle . Die Abbildung ist dann ein Ringhomomorphismus und wird Frobenius-Homomorphismus genannt.

[Bearbeiten] Beispiele

Der Restklassenring hat die Charakteristik n.

Da die komplexen Zahlen die rationalen enthalten, ist auch ihre Charakteristik 0.

Für ein irreduzibles Polynom g vom Grad n über dem Restklassenkörper ist der Faktorring ein Körper (der isomorph ist zum endlichen Körper ), der enthält und demnach die Charakteristik p hat.

[Bearbeiten] Bei Körpern

Jeder geordnete Körper hat die Charakteristik 0; Beispiele sind die rationalen Zahlen oder die reellen Zahlen.

Jeder Körper der Charakteristik 0 ist unendlich; er enthält nämlich einen Primkörper, der isomorph zum Körper der rationalen Zahlen ist.

[Bearbeiten] Beispiele

Es gibt unendliche Körper mit Primzahlcharakteristik; Beispiele sind der Körper der rationalen Funktionen über oder der algebraische Abschluss von .

Die Mächtigkeit eines endlichen Körpers der Charakteristik p ist eine Potenz von p. Denn in diesem Fall enthält er den Teilkörper und ist ein endlichdimensionaler Vektorraum über diesem Teilkörper. Aus der linearen Algebra ist bekannt, dass die Ordnung des Vektorraums dann eine Potenz von p ist.

Daraus folgt, dass jeder endliche Vektorraum als Mächtigkeit eine Primzahlpotenz hat, da dieser dann ein endlichdimensionaler Vektorraum über einem endlichen Körper sein muss (und (pⁿ)^m ist selbst eine p-Potenz).