Faktorring

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In der Algebra bezeichnet man eine bestimmte Art von Ringen als Faktorring oder Quotientenring oder Restklassenring. Es handelt sich dabei um eine Verallgemeinerung der Restklassenringe ganzer Zahlen.

[Bearbeiten] Definition

Ist R ein Ring und I ein (beidseitiges) Ideal von R, dann bildet die Menge R/I = {a+I | a in R} der Äquivalenzklassen modulo I mit folgenden Verknüpfungen einen Ring:

[a] + [b] := [a+b]

[a] · [b] := [a · b]

Dabei bezeichnet [a]=a+I={a+i | i aus I} die Äquivalenzklasse von a aus R und +,· die Verknüpfungen von R.

Diesen Ring nennt man den Faktorring R modulo I oder Restklassenring oder Quotientenring. (Er hat jedoch nichts mit den Begriffen Quotientenkörper bzw. Totalquotientenring zu tun; diese sind Lokalisierungen.)

[Bearbeiten] Beispiele

• Die Menge aller ganzzahligen Vielfachen von n ist ein Ideal in , und der Faktorring ist der Restklassenring modulo n.

• Ist ein Polynom über einem Integritätsring R, dann ist die Menge aller Polynom-Vielfachen von f ein Ideal im Polynomring R[X], und ist der Faktorring R[X] modulo f.

• Betrachten wir das Polynom f = X² + 1 über dem Körper der reellen Zahlen, so ist der Faktorring isomorph zum Körper der komplexen Zahlen; die Äquivalenzklasse von X entspricht dabei der imaginären Einheit i. Rechenbeispiele: Das Polynom X² liegt wegen X² = f − 1 in derselben Äquivalenzklasse modulo f wie − 1. Für das Produkt ermitteln wir

• Man erhält alle endlichen Körper als Faktorringe der Polynomringe über den Restklassenkörpern .

[Bearbeiten] Eigenschaften

Ist R ein kommutativer Ring mit Einselement und I ein Primideal, dann ist R/I ein Integritätsring.

Ist R ein kommutativer Ring mit Einselement und I ein maximales Ideal, dann ist R/I ein Körper.

Ist K ein Körper und f ein irreduzibles Polynom über K, dann ist (f) ein maximales Ideal in K[T] und deshalb ist L := K[T]/(f) ein Körper. Dieser Körper ist ein Oberkörper von K, in dem f eine Nullstelle hat (die Restklasse von T). Die Körpererweiterung L/K ist endlich und algebraisch, ihr Grad stimmt mit dem Grad von f überein. Wiederholt man das Verfahren mit den über L irreduziblen Teilern von f, so erhält man schließlich einen Körper, in dem f in Linearfaktoren zerfällt: Den Zerfällungskörper von f.