Lokalisierung (Algebra)

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In der Algebra ist die Lokalisation eine Methode, einem Ring R systematisch neue multiplikativ inverse Elemente hinzuzufügen. Möchte man, dass die Elemente einer Teilmenge S von R invertierbar werden, dann konstruiert man einen neuen Ring T und einen Ringhomomorphismus von R nach T, der S auf Einheiten von T abbildet. Die durch eine universelle Eigenschaft bestimmte "beste Wahl" von T schreibt man als $S - 1 R$ und nennt sie die "Lokalisation von R bezüglich S".

Inhaltsverzeichnis

1 Wortherkunft
2 Definition
- 2.1 Lokalisation eines Integritätsbereichs
- 2.2 Lokalisation eines allgemeinen kommutativen Ringes
3 Universelle Eigenschaft
4 Häufige Arten der Lokalisation
5 Lokalisierung von Moduln

[Bearbeiten] Wortherkunft

Die Verwendung des Begriffs "Lokalisation" entspringt der algebraischen Geometrie: Ist R ein Ring von reell- oder komplexwertigen Funktionen auf einem geometrischen Objekt (z.B. einer algebraischen Varietät) und will man das Verhalten der Funktionen in der Nähe eines Punktes p untersuchen, dann wählt man für S die Menge der Funktionen, die bei p ungleich 0 sind und lokalisiert R bzgl. S. Die Lokalisation enthält dann nur noch Informationen über das Verhalten der Funktionen nahe bei p.

[Bearbeiten] Definition

Da die Lokalisation eines nichtkommutativen Ringes ungleich schwieriger und nicht immer möglich ist, beschränken wir uns in diesem Artikel auf kommutative Ringe mit 1.

Sei also R ein kommutativer Ring mit 1 und S eine Teilmenge von R. Da das Produkt von Einheiten wieder eine Einheit ist, 1 eine Einheit ist, und wir die Elemente von S zu Einheiten machen wollen, können wir S vergrößern und die 1 und alle Produkte von Elementen von S zu S hinzufügen; wir nehmen also gleich an, dass S multiplikativ abgeschlossen ist.

[Bearbeiten] Lokalisation eines Integritätsbereichs

Im einfachsten Fall ist R ein Integritätsring. Hier unterscheiden wir, ob S die 0 enthält oder nicht.

Ist $0 \in S$ , dann kommt für die Lokalisation nur der Nullring {0} in Frage, weil er der einzige Ring ist, in dem die 0 Einheit ist. Wir definieren also $S - 1 R = {0}$ , falls 0 in S liegt.

Ist 0 kein Element von S, dann betrachten wir den Quotientenkörper K von R. Der Teilring $S - 1 R$ von K, der aus allen Brüchen besteht, deren Zähler in R und deren Nenner in S liegt, hat die gewünschten Eigenschaften: Die kanonische Einbettung von R in K ist ein Ringhomomorphismus, der sogar injektiv ist, und die Elemente von S sind invertierbar. Dieser Ring $S - 1 R$ ist der kleinste Teilring von K, der R enthält und in dem die Elemente von S invertierbar sind.

Hier folgen einige Beispiele von Lokalisationen von Z bezüglich verschiedener Teilmengen S:

Lokalisiert man Z bzgl. der Menge der ungeraden ganzen Zahlen, erhält man den Ring $\mathbb{Z}_{(2)}$ aller rationalen Zahlen mit ungeradem Nenner. Die Verwendung des "(2)" wird weiter unten erklärt.
Lokalisiert man Z bzgl. der Menge der geraden Zahlen ohne die 0, erhält man ganz Q, weil sich jede rationale Zahl durch eventuelle Erweiterung mit 2 als Bruch mit geradem Nenner darstellen lässt.
Lokalisiert man Z bzgl. der Menge der Zweierpotenzen, erhält man den Ring der Dualbrüche. Dies sind genau die rationalen Zahlen, deren Dualdarstellung nur endlich viele Nachkommastellen hat.

[Bearbeiten] Lokalisation eines allgemeinen kommutativen Ringes

Für einen beliebigen kommutativen Ring R mit 1 haben wir keinen Quotientenkörper, wir konstruieren also einen neuen Ring, dessen Elemente wir als Brüche aufschreiben werden.

Die folgende Konstruktion liefert für Integritätsringe R einen Ring, der zu dem oben definierten Teilring des Quotientenkörpers isomorph ist.

Auf dem kartesischen Produkt $R \times S$ führen wir eine Äquivalenzrelation ein:

$(r_1, s_1) \sim (r_2, s_2) :\Leftrightarrow \exists t \in S: t(r_1 s_2 - r_2 s_1) = 0$

Die Äquivalenzklasse eines Paares $(r 1, s 1)$ schreiben wir als Bruch

$\frac{r_1}{s_1} := [(r_1, s_1)] := \{(r_2, s_2) \in R \times S : (r_1, s_1) \sim (r_2, s_2)\}$

Addition und Multiplikation der Äquivalenzklassen werden analog zu den üblichen Bruchrechenregeln definiert:

$\frac{r_1}{s_1} + \frac{r_2}{s_2} := \frac{r_1 s_2 + r_2 s_1}{s_1 s_2}$

$\frac{r_1}{s_1} \cdot \frac{r_2}{s_2} := \frac{r_1 r_2}{s_1 s_2}$

Der in der Definition der Äquivalenzrelation auftretende Faktor t ist für die Wohldefiniertheit der Äquivalenzrelation (genauer: der Transitivität) nötig, falls der vorliegende Ringe kein Integritätsbereich ist. Mit den so definierten Verknüpfungen erhalten wir einen Ring $S - 1 R$ , und die Abbildung

$j: R \to S^{-1}R,\ j(r) = \frac{r}{1}$

ist ein (nicht notwendig injektiver) Ringhomomorphismus.

[Bearbeiten] Universelle Eigenschaft

Die "beste Wahl" des Ringes $S - 1 R$ und des Homomorphismus $j: R \to S^{-1}R$ wird durch die Erfüllung einer universellen Eigenschaft definiert:

Ist R ein kommutativer Ring mit 1, S eine multiplikativ abgeschlossene Teilmenge von R,

T

ein Ring mit 1, $t: R \to T$ ein Ringhomomorphismus, der jedes Element von S auf eine Einheit abbildet, dann gibt es genau einen Ringhomomorphismus $g: S^{-1}R \to T$ mit $t = g \circ j$ .

Die oben definierten Ringe erfüllen diese universelle Eigenschaft.

[Bearbeiten] Häufige Arten der Lokalisation

[Bearbeiten] Lokalisierung an einem Element

Indem man $S:=\{r^n|n\in\N_0\}$ schreibt, lässt man alle Potenzen eines Elementes $r\in R$ als Nenner zu. Gebräuchliche Schreibweisen dafür sind $R r$ , $R\left[\frac1r\right]$ oder $R [r - 1]$ . Die erhaltene Lokalisierung ist kanonisch isomorph zu $R [X] / (r X - 1)$ .

[Bearbeiten] Lokalisierung an einem Primideal

Wenn $\mathfrak{p}\in\operatorname{Spec}(R)$ ein Primideal bezeichnet, so spricht man für $S:=R\setminus\mathfrak{p}$ von der „Lokalisation bei $\mathfrak{p}$ “, geschrieben $R_\mathfrak{p}$ . Der entstehende Ring ist lokal mit maximalem Ideal $R_\mathfrak{p}\mathfrak{p}$ , seine Primideale entsprechen den in $\mathfrak{p}$ enthaltenen Primidealen. Genauer, bezeichnet $j\colon R\to R_\mathfrak{p}$ die Einbettung, so ist $\operatorname{Spec}(R_\mathfrak{p})\to\{\mathfrak{a}\in\operatorname{Spec}(R)|\mathfrak{a}\subseteq\mathfrak{p}\}$ , $\mathfrak{b}\mapsto j^{-1}(\mathfrak{b})$ eine inklusionserhaltende Bijektion. Der oben angegebene Ring $\Z_{(p)}$ für eine Primzahl $p$ ist ein Beispiel für diese Konstruktion.

Da $R/\mathfrak{p}$ nullteilerfrei ist, kann man den Quotientenkörper bilden. Es gilt dann $\operatorname{Quot}(R/\mathfrak{p}) \cong R_\mathfrak{p}/R_\mathfrak{p}\mathfrak{p}$ .

Man kann die Lokalisation an einem Primideal auch noch wie folgt deuten: Fasst man Elemente von $R$ als Funktionen auf dem Spektrum von $R$ auf, deren Wert in einem Punkt $P$ das jeweilige Bild im Restklassenkörper $\kappa(P) := R_\mathfrak{p}/R_\mathfrak{p}\mathfrak{p}$ ist, so „besteht“ der lokale Ring bei $P$ aus Brüchen, in deren Nenner Funktionen stehen, die bei $P$ nicht verschwinden, „durch die man also lokal bei $P$ teilen darf“.

„Ganzabgeschlossen“ ist eine lokale Eigenschaft, d.h. für einen nullteilerfreien Ring $R$ sind äquivalent:

$R$ ist ganzabgeschlossen
$R_\mathfrak{p}$ ist ganzabgeschlossen für alle Primideale $\mathfrak{p}\triangleleft R$
$R_\mathfrak{m}$ ist ganzabgeschlossen für alle maximalen Ideale $\mathfrak{m}\triangleleft R$

[Bearbeiten] Totalquotientenring

Der Totalquotientenring $Q$ eines Ringes $R$ ist die Lokalisierung von $R$ an der Menge der Nichtnullteiler von $R$ . Er ist die „stärkste“ Lokalisierung, für die die Lokalisierungsabbildung

$R\to Q,\quad r\mapsto r/1$

injektiv ist. Ist $R$ ein Integritätsbereich, so ist der Totalquotientenring der Quotientenkörper von $R$ .

[Bearbeiten] Lokalisierung von Moduln

Ist R ein Ring, S eine multiplikative Teilmenge von R und M ein R-Modul, so ist die Lokalisierung von M bezüglich S definiert als die Menge S⁻¹M der Äquivalenzklassen von Paaren (m,s), auch geschrieben m/s, wobei zwei Paare (m₁,s₁), (m₂,s₂) äquivalent sein sollen, wenn es ein Element s von S gibt, so dass

s(s₂m₁ − s₁m₂) = 0

gilt. S⁻¹M ist ein S⁻¹R-Modul.

Entsprechend zum Fall von Ringen schreibt man auch M_r oder M_P für Elemente r bzw. Primideale P von R.

Die Lokalisierung eines Moduls besitzt ebenfalls eine universelle Eigenschaft: Jeder Homomorphismus von M in einen Modul N, auf dem die Elemente von S invertierbar operieren, lässt sich auf eindeutige Weise zu einem Homomorphismus S⁻¹M → N fortsetzen. Dies bedeutet auch, dass man die Lokalisierung eines Moduls auch als Tensorprodukt beschreiben kann:

$S^{-1}M=M\otimes_RS^{-1}R$ .