Injektivität

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Injektivität (injektiv, linkseindeutig) ist eine Eigenschaft einer mathematischen Funktion.

Sie bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge höchstens einmal als Funktionswert angenommen wird. Es werden also keine zwei verschiedenen Elemente der Definitionsmenge auf ein und dasselbe Element der Zielmenge abgebildet. Eine injektive Funktion ist daher (als Relation gesehen) linkseindeutig.

Im Unterschied zu einer bijektiven Abbildung entspricht dabei nicht unbedingt jedem Element der Zielmenge ein Element der Definitionsmenge. Die Bildmenge kann also kleiner als die Zielmenge sein, so dass injektive Funktionen im Allgemeinen keine Umkehrfunktion haben.

Eine injektive Funktion wird auch als Injektion bezeichnet.

[Bearbeiten] Definition

Seien $X$ und $Y$ Mengen, sowie $f : X \to Y$ eine Abbildung von $X$ nach $Y$ .

$f$ heißt injektiv, wenn für alle $y$ aus $Y$ höchstens ein $x$ aus $X$ mit $f (x) = y$ existiert.
(höchstens ein beinhaltet auch keines)

Äquivalente Formulierung:

$f$ heißt injektiv, wenn für alle $x 1$ , $x 2$ aus $X$ gilt: Wenn $f (x 1) = f (x 2)$ , dann $x 1 = x 2$ .

Formal: $\forall x_1, x_2 \in X : f(x_1)= f(x_2) \Rightarrow x_1=x_2$

[Bearbeiten] Darstellungsformen

[Bearbeiten] Beispiele und Gegenbeispiele

Unmathematisches Beispiel: Die Funktion, die jedem Bürger der Bundesrepublik Deutschland mit Personalausweis die Nummer seines Personalausweises zuordnet, ist injektiv, wobei als Zielmenge die Menge aller möglichen Personalsausweisnummern angenommen wird.

$\mathbb{N}$ bezeichne die Menge der natürlichen und $\mathbb{Z}$ die Menge der ganzen Zahlen.

$f_1:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}\ , \ x \mapsto 2 x$ ist injektiv.

$f_2:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}\ , \ x \mapsto 2 x$ ist injektiv.

$f_3:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}\ , \ x \mapsto x^2$ ist injektiv.

$f_4:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}\ , \ x \mapsto x^2$ ist nicht injektiv.

[Bearbeiten] Eigenschaften

Eine stetige reellwertige Funktion auf einem Intervall ist genau dann injektiv, wenn sie in Ihrem gesamten Definitionsbereich streng monoton steigend oder streng monoton fallend ist, d.h. für zwei beliebige Zahlen $x 1$ , $x 2$ aus dem Definitionsbereich gilt: Aus $x 1 < x 2$ folgt $f (x 1) < f (x 2)$ (steigend), bzw. aus $x 1 < x 2$ folgt $f (x 1) > f (x 2)$ (fallend).

Man beachte, dass die Injektivität einer Funktion $f : A \to B$ nur vom Funktionsgraphen $\{(x, f(x)) \mid x \in A\}$ abhängt (im Gegensatz zur Surjektivität, die auch von der Zielmenge $B$ abhängt, welche man am Funktionsgraphen nicht ablesen kann).

Sind die Funktionen f : A → B und g : B → C injektiv, dann gilt dies auch für die Komposition (Verkettung) g o f : A → C.

Aus der Injektivität von g o f folgt, dass f injektiv ist.

Eine Funktion f : A → B mit nichtleerer Definitionsmenge A ist genau dann injektiv, wenn f eine linke Inverse hat, also eine Funktion g : B → A mit g o f = id_A (wobei id_A die identische Abbildung auf A bezeichnet).

Eine Funktion f : A → B ist genau dann injektiv, wenn f links kürzbar ist, also für beliebige Funktionen g, h : C → A mit f o g = f o h schon g = h folgt.

Jede beliebige Funktion f : A → B ist darstellbar als Verkettung f = h o g, wobei g surjektiv und h injektiv (nämlich eine Inklusionsabbildung) ist.

[Bearbeiten] Mächtigkeiten von Mengen

Für eine endliche Menge A ist die Mächtigkeit |A| einfach die Anzahl der Elemente von A. Ist nun f : A → B eine injektive Funktion zwischen endlichen Mengen, dann muss B mindestens genauso viele Elemente wie A haben, es gilt also |B| ≥ |A|.

Man kann dies äquivalent auch so formulieren: Ist f : A → B eine Funktion zwischen endlichen Mengen und gilt |B| < |A|, dann ist f nicht injektiv. Es gibt also (mindestens) zwei verschiedene Elemente x und y von A mit f(x) = f(y). Diese Aussage wird auch als Schubfachprinzip bezeichnet.

Für unendliche Mengen werden Injektionen verwendet, um Mächtigkeiten der Größe nach zu vergleichen.

[Bearbeiten] Alternative Charakterisierung

Für die Injektivität einer Funktion f : X → Y sieht man oft auch die folgende Definition, die zu der oben angegebenen äquivalent ist:

$\forall x_1, x_2 \in X : x_1 \ne x_2 \Rightarrow f(x_1) \ne f(x_2)$

Verwendet man sie zum Nachweis der Injektivität, führt dies oft zu einem Widerspruchsbeweis. Der direkte Beweis mit der obigen Definition ist aber meist eleganter und kürzer.

[Bearbeiten] Geschichte

Nachdem man generationenlang mit Formulierungen wie "eineindeutig" ausgekommen war, kam erst in der Mitte des 20. Jahrhunderts mit der durchgehend mengentheoretischen Darstellung aller mathematischen Teilgebiete das Bedürfnis nach einer prägnanteren Bezeichnung auf. Wahrscheinlich wurde das Wort "injektiv" ebenso wie "bijektiv" und "surjektiv" in den 1930ern von N. Bourbaki geprägt. Als frühester Gebrauch im Englischen wird genannt [1]: Das Substantiv "Injektion" wurde 1950 von S. MacLane, das Adjektiv "injektiv" 1952 in den Foundations of algebraic topology von Eilenberg und Steenrod eingeführt.

Da stellenweise große Verwirrung bezüglich der Zuordnung zwischen den Begriffen Eineindeutig und Injektiv bzw. Bijektiv herrscht (Quellen (Lehrbücher) aus der reinen Mathematik favorisieren Injektiv, "fachfremde" Quellen favorisieren stellenweise eher Bijektiv) sollte davon abgesehen werden den Begriff Eineindeutig in diesem Kontext zu verwenden.