תנאי ליפשיץ

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

פונקציה ממשית $\ f$ מקיימת את תנאי ליפשיץ (Lipschitz condition) אם קיים קבוע $\ K$ המקיים: לכל $\ x,y$ בתחום הגדרת הפונקציה $\ |f(x)-f(y)|\le K|x-y|$ . התנאי קרוי על-שם המתמטיקאי הגרמני רודולף ליפשיץ.

ניתן להכליל את תנאי ליפשיץ גם עבור פונקציה על מרחב מטרי כלשהו, כלומר כל מרחב שבו מוגדר מושג המרחק. יהיו $\ X,Y$ מרחבים מטריים, ותהי $\ f:X\to Y$ . נאמר שהפונקציה $\ f$ מקיימת את תנאי ליפשיץ אם קיים קבוע $\ K$ כך שלכל $x_1,x_2\in X$ מתקיים $\ d_Y(f(x_1),f(x_2))\le Kd_X(x_1,x_2)$ כאשר $\ d_X(x_1,x_2), d_Y(y_1,y_2)$ הן המטריקות המתאימות.

[עריכה] הערות

פונקציה המקיימת את תנאי ליפשיץ היא רציפה במידה שווה. ההפך לא נכון: לדוגמה, הפונקציה $\ f(x)=\sqrt{x}$ רציפה במידה שווה בקטע $\ [0,1]$ , אך אינה מקיימת את תנאי ליפשיץ שם.
ממשפט הערך הממוצע של לגראנז' נובע כי פונקציה גזירה בעלת נגזרת חסומה מקיימת את תנאי ליפשיץ. ההפך אינו נכון: פונקציה המקיימת את תנאי ליפשיץ אינה חייבת להיות גזירה. לדוגמה $\ f(x)=|x|$ מקיימת את תנאי ליפשיץ אך אינה גזירה ב- $\, x=0$ .
במקרה המיוחד שבו $\ K<1$ נקראת הפונקציה העתקה מכווצת (שכן היא מקטינה את התחום עליו היא פועלת). בפונקציות מסוג זה עוסק משפט נקודת השבת של בנך.
לפונקציות שמקיימות את תנאי ליפשיץ חשיבות גדולה במשפט הקיום והיחידות של פתרון למשוואות דיפרנציאליות רגילות.
פונקציה המקיימת את תנאי ליפשיץ היא בעלת השתנות חסומה.