רציפות במידה שווה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

בחשבון אינפיניטסימלי, רציפות במידה שווה (בקיצור, רציפות במ"ש) היא תכונה של פונקציה המוגדרת בקטע. לכל פונקציה רציפה, הערכים שהיא מקבלת בנקודות סמוכות, קרובים זה לזה. במלים אחרות, כדי להבטיח ש- $\ f(y)$ יהיה קרוב ל- $\ f(x)$ , מספיק לדרוש ש- $\ y$ יהיה קרוב ל- $\ x$ . רציפות במידה שווה היא תכונה חזקה יותר: לא רק שהפונקציה רציפה, אלא שמידת הקרבה בין $\ y$ ל- $\ x$ הדרושה על-מנת להבטיח מרחק מסוים בין $\ f(y)$ ל- $\ f(x)$ היא אחידה על-פני כל הקטע, ואינה תלויה ב- $\ x$ .

הגדרה: פונקציה $f\left(x\right)$ המוגדרת בקטע היא רציפה במידה שווה, אם לכל $\ \varepsilon > 0$ קיים $\ \delta > 0$ כך שלכל $\,x_1$ ולכל $\,x_2$ בקטע, שעבורם $\left|x_1-x_2\right| < \delta$ , מתקיים $\ \left|f(x_1)-f(x_2)\right| < \varepsilon$ .

ההבדל בין רציפות במידה שווה לבין רציפות "סתם" בכל הקטע, הוא סדר הכמתים: כאן הדרישה היא שאותו $\ \delta$ יתאים לכל $\ x_1$ , ואילו ברציפות סתם מותר ל- $\ \delta$ להיות תלוי ב- $\ x_1$ .

יש לזכור שרציפות היא תכונה נקודתית (בכל נקודה, הפונקציה רציפה או שאינה רציפה), בעוד שלרציפות במידה שווה אין משמעות בנקודה אחת - זוהי תכונה של הפונקציה בכל הקטע. כמובן, כל פונקציה רציפה במידה שווה, מוכרחה להיות רציפה בכל נקודה של הקטע. משפט חשוב של קנטור קובע שבקטע סגור, גם ההיפך נכון: אם פונקציה רציפה בכל נקודה של קטע סגור, אז היא רציפה שם במידה שווה.

משום כך, רציפות במידה שווה היא תכונה מעניינת בעיקר בקטעים פתוחים ובקרניים אינסופיות כגון $\ [a,\infty)$ .

[עריכה] הקשר לנגזרת

אם הפונקציה גזירה בקטע והנגזרת שלה חסומה, אז היא רציפה במידה שווה. באופן כללי יותר, פונקציה המקיימת את תנאי ליפשיץ היא רציפה במידה שווה. ההיפך אינו נכון: הפונקציה $\ f(x)=\sqrt{x}$ רציפה במידה שווה בקטע $\ [0,1]$ , אבל הנגזרת שלה אינה חסומה שם.

[עריכה] הכללה למרחבים מטריים

ניתן להרחיב את ההגדרה בקלות למרחב מטרי כלשהו, על ידי שימוש במטריקות של מרחב התחום ומרחב הטווח, במקום במרחק הרגיל ב- $\ \mathbb{R}$ (המרחק בין שתי נקודות $\ x,y\isin\mathbb{R}$ הוא $\ \left|x-y\right|$ ). ההכללה של משפט קנטור קובעת שאם פונקציה (ממרחב מטרי אחד לאחר) היא רציפה בכל נקודה של קבוצה קומפקטית, אז היא רציפה שם במידה שווה.

[עריכה] דוגמאות

[עריכה] הפונקציה f(x)=x

ברור אינטואיטיבית כי הפונקציה $\ f\left(x\right)=x$ רציפה במידה שווה ב- $\ \mathbb{R}$ , מאחר ששינוי ערך ה- $\,y$ שלה שווה בדיוק לשינוי ערך ה- $\,x$ שלה. נוכיח זאת פורמלית, ישירות לפי ההגדרה:

יהי $\ \varepsilon > 0$ . נבחר $\ \delta =\varepsilon$ , נקבל כי לכל $\ x_{1}, x_{2}\isin\mathbb{R}$ אם $\ \left|x_1-x_2\right| < \delta$ אזי $\ \left|f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\right| =\left|x_1-x_2\right| < \delta=\varepsilon$ כלומר $\ \left|f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\right| <\varepsilon$ כרצוי.

[עריכה] הפונקציה f(x)=x² בקטע סופי

נעיין בפונקציה $\ f\left(x\right)=x^2$ בקטע מהצורה $\ [0,b]$ . מאחר שהקטע $\ [0,b]$ סגור, ניתן להסיק את הרציפות במידה שווה ישירות ממשפט קנטור.

נראה שפונקציה זו רציפה במידה שווה על-פי ההגדרה. יהי $\ \varepsilon > 0$ , ויהיו $\ x_{1}, x_{2}\isin [0,b]$ .

ראשית, נשים לב לכך ש-

$\ \left|f(x_1)-f(x_2)\right|=\left|x_{1}^2-x_{2}^2\right| = \left| {x_1 - x_2 } \right|\left| {x_1 + x_2 } \right| \le$

$\ \le \left| {x_1 - x_2 } \right|\left( {\left| {x_1 } \right| + \left| {x_2 } \right|} \right) \le 2b\left| {x_1 - x_2 } \right|$

מהערכה זו נבחר $\ \delta =\frac{\varepsilon}{2b}$ . ואכן (לפי אי-השיוויון האחרון) לכל -

$\left|x_1-x_2\right| < \frac{\varepsilon}{2b}$

יתקיים -

$\left| {f\left( {x_1 } \right) - f\left( {x_2 } \right)} \right| = \left| {x_1 ^2 - x_2 ^2 } \right| \le 2b\left| {x_1 - x_2 } \right| < 2b \cdot {\varepsilon \over {2b}} = \varepsilon$

[עריכה] הפונקציה f(x)=x² בקטע אינסופי

על אף שבדוגמה הקודמת מצאנו שבכל קטע סופי מהצורה $\ [0,b]$ הפונקציה $\ f(x)=x^2$ רציפה במידה שווה, נראה שבקטע $[ 0,\infty)$ אותה פונקציה לא תהיה רציפה במידה שווה.

על מנת לעשות זאת, יש למצוא $\ \varepsilon_0 > 0$ שעבורו לא קיים $\,\delta$ מתאים, כלומר, לכל $\,\delta>0$ קיימים $\,x_1,x_2$ כך ש- $\,\left|x_1-x_2\right|<\delta$ אולם $\ \left|f(x_1)-f(x_2)\right| \ge \varepsilon_0$

נבחר $\ \varepsilon_0 =1$ , ויהי $\ \delta > 0$ כלשהו. עבור $\ x_{1}=\frac{1}{\delta},x_{2}=\frac{1}{\delta} +\frac{\delta}{2}$ יתקיים $\ \left|x_1-x_2\right| =\frac{\delta}{2} < \delta$ , בעוד ש-

$\ \left| {x_1 ^2 - x_2 ^2 } \right| = \left| {x_1 - x_2 } \right|\left| {x_1 + x_2 } \right| = {\delta \over 2} \cdot \left| {{2 \over \delta } + {\delta \over 2 }} \right| = 1 + {\delta^2 \over 4} > 1 = \varepsilon_0$

לסיכום, עבור $\ \varepsilon_0 =1$ לכל $\ \delta > 0$ קיימים $\ x_{1}, x_{2}\isin [0,\infty )$ כך ש- $\left|x_1-x_2\right| < \delta$ ובכל זאת $\ \left|f(x_1)-f(x_2)\right| \ge \varepsilon_0$ , ולכן, הפונקציה $\ f\left(x\right)=x^2$ אינה רציפה במידה שווה בקטע $\ [0,\infty )$ .

[עריכה] פעולות בין פונקציות

הסכום של שתי פונקציות שהן רציפות במידה שווה, גם הוא רציף במידה שווה.
אם ו- רציפות במידה שווה בקטע ושתיהן חסומות שם, אזי המכפלה רציפה במידה שווה ב-. התנאי הוא תנאי מספיק לרציפות במידה שווה של פונקציית המכפלה אך אינו תנאי הכרחי. להלן מספר דוגמאות:
- הפונקציה $\ f(x)=x^2$ היא מכפלה של שתי פונקציות רציפות במידה שווה, אך אינה רציפה במידה שווה בכל הישר.
- הפונקציות $f(x)=g(x)=\sqrt x$ רציפות במידה שווה ואינן חסומות בקטע $\ [0,\infty)$ , אך מכפלתן היא פונקציה רציפה במידה שווה.
- הפונקציה $\,x\sin(x)$ היא מכפלה של שתי פונקציות רציפות במידה שווה על כל הישר, שאחת מהן חסומה, אולם $\, x\sin(x)$ אינה רציפה במידה שווה על כל הישר.
אם הפונקציה $\ f$ רציפה במידה שווה בקטע $\ I$ וקיים קבוע $\, c>0$ כך ש- $f(x)\ge c$ לכל $\,x$ בקטע, אזי גם הפונקציה $\ 1/f$ רציפה במידה שווה בקטע $\ I$ . דוגמה לכך שלא מספיק לדרוש ש- $\,f(x)> 0$ לכל $\,x$ בקטע, היא הפונקציה $\,f(x)=x$ בקטע $\,(0,1)$ .
הרכבת שתי פונקציות שהן רציפות במידה שווה, גם היא רציפה במידה שווה.

[עריכה] דוגמאות, הערות ומשפטים נוספים

פונקציה הרציפה במידה שווה בקטע מסוים, רציפה במידה שווה בכל קטע חלקי לו. (זהו אמנם משפט טריביאלי, אך שימושי להוכחות על רציפות במידה שווה בקטע פתוח - מרחיבים את הפונקציה בצורה רציפה לקטע סגור, משתמשים במשפט קנטור, וחוזרים לקטע המקורי).
פונקציה הרציפה במידה שווה במספר סופי של קטעים, רציפה במידה שווה באיחוד הקטעים.
פונקציה רציפה בקטע $[a,\infty)$ ושואפת לגבול סופי ב- $\infty$ היא רציפה במידה שווה בקטע $[a,\infty)$ . ברור כי התנאי אינו הכרחי: הפונקציה $\, f(x)=x$ רציפה במידה שווה, אך אינה שואפת לגבול סופי ב- $\infty$ .
ניתן להרחיב מעט את התנאי הקודם: $\,f$ פונקציה רציפה בקטע $[a,\infty)$ וקיים קבוע $\ b$ כך שהפונקציה $\,f(x)-bx$ שואפת לגבול סופי ב- $\infty$ , אזי $\ f$ רציפה במידה שווה בקטע $[a,\infty)$ .
$\,f$ פונקציה רציפה בקטע $[a,\infty)$ וגזירה בקטע $(b,\infty)$ , עבור $\,a<b$ . אם $\,f'$ שואפת לגבול סופי ב- $\infty$ אזי $\,f$ רציפה במידה שווה בקטע $[a,\infty)$ . דוגמה: הפונקציה $f(x)=x^2\sin\frac{1}{x}$ רציפה במידה שווה בקטע $(0,\infty)$ .
הפונקציה $\ \sin(x^2)$ רציפה על כל הישר, חסומה, אך אינה רציפה במידה שווה על כל הישר.
פונקציה מחזורית ורציפה על כל הישר היא רציפה במידה שווה.

[עריכה] ראו גם

תנאי ליפשיץ

חשבון אינפיניטסימלי
מושגי יסוד:	חשבון אינפיניטיסימלי \| סדרה \| גבול \| סדרת קושי \| טור \| אינפיניטסימל \| שדה המספרים הממשיים \| ערך מוחלט \| אי-שוויון המשולש \| אי-שוויון קושי-שוורץ
פונקציות:	פונקציה \| גרף פונקציה \| פונקציה לינארית \| פונקציה מונוטונית \| נקודת קיצון \| פונקציה קעורה \| פונקציה קמורה \| פונקציה רציפה \| רציפות במידה שווה \| נקודת אי רציפות \| נגזרת \| טור טיילור \| סדרת פונקציות \| התכנסות במידה שווה
משפטים:	משפט בולצאנו-ויירשטראס \| משפטי ויירשטראס \| משפט קנטור \| משפט ערך הביניים \|משפט פרמה \| משפט רול \| משפט הערך הממוצע של לגראנז' \| משפט הערך הממוצע של קושי \| משפט דארבו \| כלל לופיטל \| כלל השרשרת
האינטגרל:	אינטגרל \| המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי \| אינטגרציה בחלקים \| שיטות אינטגרציה
אנליזה מתקדמת:	פונקציה מרוכבת \| אנליזה וקטורית \| שיטת ניוטון-רפסון \| משוואה דיפרנציאלית \| טופולוגיה \| תורת המידה
אנליזה מתמטית - אנליזה וקטורית - טופולוגיה - אנליזה מרוכבת - אנליזה פונקציונלית - תורת המידה

מקור: http://he.wikipedia.org../../../%D7%A8/%D7%A6/%D7%99/%D7%A8%D7%A6%D7%99%D7%A4%D7%95%D7%AA_%D7%91%D7%9E%D7%99%D7%93%D7%94_%D7%A9%D7%95%D7%95%D7%94.html

קטגוריה: אנליזה מתמטית

רציפות במידה שווה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

תוכן עניינים

[עריכה] הקשר לנגזרת

[עריכה] הכללה למרחבים מטריים

[עריכה] דוגמאות

[עריכה] הפונקציה f(x)=x

[עריכה] הפונקציה f(x)=x² בקטע סופי

[עריכה] הפונקציה f(x)=x² בקטע אינסופי

[עריכה] פעולות בין פונקציות

[עריכה] דוגמאות, הערות ומשפטים נוספים

[עריכה] ראו גם

Views

ניווט

קהילה

חיפוש

שפות אחרות

רציפות במידה שווה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

תוכן עניינים

[עריכה] הקשר לנגזרת

[עריכה] הכללה למרחבים מטריים

[עריכה] דוגמאות

[עריכה] הפונקציה f(x)=x

[עריכה] הפונקציה f(x)=x2 בקטע סופי

[עריכה] הפונקציה f(x)=x2 בקטע אינסופי

[עריכה] פעולות בין פונקציות

[עריכה] דוגמאות, הערות ומשפטים נוספים

[עריכה] ראו גם

Views

ניווט

קהילה

חיפוש

שפות אחרות

[עריכה] הפונקציה f(x)=x² בקטע סופי

[עריכה] הפונקציה f(x)=x² בקטע אינסופי