מטריקה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

בטופולוגיה, מושג המטריקה בא להכליל את מושג המרחק על קבוצה כלשהי. מטריקה היא פונקציה שמתאימה לכל זוג מאברי הקבוצה מספר ממשי, המסמל את המרחק בין שני האיברים.

תוכן עניינים

1 הגדרה פורמלית
2 המטריקה כהכללה של מושג המרחק
3 שקילות מטריקות
4 הטנזור המטרי

[עריכה] הגדרה פורמלית

תהא S קבוצה כלשהי. פונקציה $d:S\times S \rarr \mathbb{R}$ תיקרא מטריקה כאשר היא מקיימת את שלוש התכונות הבאות עבור כל $x,y,z\isin S$ :

$d(x,y)\ge 0$ ומתקיים $\!\, d(x,y)=0$ אם ורק אם $\!\, x=y$
$d\left(x,y\right) = d(y,x)$
$d(x,z) \le d(x,y)+d(y,z)$ (אי שוויון המשולש).

הקבוצה S יחד עם הפונקציה d נקראת מרחב מטרי.

אם מחליפים את אי שוויון המשולש בדרישה החזקה יותר ש- $d(x,z) \le max\{d(x,y),d(y,z)\}$ , המטריקה נקראת 'מטריקה לא ארכימדית'. מטריקה כזו היא בעלת התכונה המוזרה, שכל משולש הוא שווה שוקיים.

[עריכה] המטריקה כהכללה של מושג המרחק

שלוש התכונות הנדרשות מהמטריקה הן הכללה של מושג המרחק המוכר לנו מהמרחב האוקלידי:

התכונה הראשונה דורשת כי המרחק בין כל שתי נקודות הוא חיובי, וכי אם המרחק בין שתי נקודות הוא אפס, שתיהן הן אותה נקודה.
התכונה השנייה דורשת כי המרחק בין שתי נקודות אינו תלוי בשאלה איזו היא נקודת "ההתחלה" ואיזו נקודת "הסיום", כך שניתן לדבר על "המרחק בין הנקודות".
התכונה השלישית היא הכללה של אי שוויון המשולש, ואומרת כי המרחק הקצר ביותר בין שתי נקודות הוא במסלול הישיר בין שתיהן, והליכה לנקודות ביניים יכולה רק להאריך את המסלול, לא לקצר אותו.

דוגמאות:

המטריקה הדיסקרטית: אם x = y אז d(x,y) = 0, אחרת d(x,y) = 1.
מטריקה על קבוצת כל המילים בנות ארבע אותיות שנמצאות במילון: המטריקה היא מספר הצעדים המזערי שיש לבצע כדי לעבור ממלה x למלה y, כשצעד מוגדר כהחלפה של אות אחת, כך שמתקבלת מלה שנמצאת אף היא במילון. מטריקה זו קרויה מרחק המינג.
מטריקה בין חיילים: מספר הצעדים המזערי שנחוץ כדי להעביר מסר מחייל x לחייל y, כשצעד מותר הוא העברת מסר מחייל למפקדו או ממפקד לחייל הנתון לפקודתו.

לעומת זאת, המרחק בין שתי נקודות במפה על-פי אורך הכבישים המקשרים ביניהן אינו מטריקה, עקב קיומם של כבישים חד סיטריים, שגורמים למצבים שבהם $d\left(x,y\right) \ne d(y,x)$ .

[עריכה] שקילות מטריקות

שתי מטריקות על אותה קבוצה ייקראו שקולות אם הן מגדירות את אותה טופולוגיה. ניתן להראות ששתי מטריקות הן שקולות אם ורק אם כל כדור פתוח סביב נקודה x ביחס למטריקה הראשונה, מכיל כדור פתוח סביב x ביחס למטריקה השניה.

[עריכה] הטנזור המטרי

בגאומטריה דיפרנציאלית ואנליזה על יריעות המונח "מטריקה" משמש כדי לציין את הטנזור המטרי המוגדר מעל יריעה חלקה M, זהו שדה טנזורי המתאים לכל נקודה במרחב טנזור. הטנזור הזה מייצג בעצם את המטריקה הלוקלית של מרחק אינפיניטסימלי בין שתי נקודת במרחק של הנקודה. כלומר, אלמנט האורך האיפיניטסימלי נתון על ידי

$\ ds^2 (k) = \sum_{\mu} \sum_{\nu} g_{\mu \nu} (k) dx^\mu dx^\nu$

כאשר $\ \mu , \nu$ רצים על האינדקסים של וקטורי הבסיס בנקודה k.

כדי לקבל את המרחק בין שתי נקודת כלשהן, a ו b, יש לבצע אינטגרציה על אלמנט האורך האינפיניטסימלי. כלומר, אנו מגדירים מטריקה חדשה על ידי

$\ d( a , b) = \int_{a}^{b}{ ds } = \int_{a}^{b}{ \sqrt{\sum_{\mu} \sum_{\nu} g_{\mu \nu} (k) dx^\mu (k) dx^\nu (k)} } = \int_{a}^{b}{ \sqrt{\sum_{\mu} \sum_{\nu} g_{\mu \nu} (k) \frac{dx^\mu}{dk} \frac{ dx^\nu }{dk}} dk}$

כאשר k הוא פרמטר של עקומה גיאודזית $\ \gamma : \mathbb{R} \to M$ המחברת בין a ל b ואת $\ g_{ \mu \nu} (k)$ יש לפרש כטנזור המטרי בנקודה $\ \gamma (k)$ והאינטגרציה מתבצעת כאינטגרל מסלולי לאורך עקומה זו.