קבוצה (מתמטיקה)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

קבוצה היא מושג יסודי במתמטיקה. התיאור האינטואיטיבי של קבוצה הוא אוסף של עצמים כלשהם. העצמים הנמצאים בקבוצה הם איברי הקבוצה. נהוג להציג קבוצה באמצעות סוגריים מסולסלים, שבתוכם מפורטים כל איברי הקבוצה, או מופיע כלל לפיו נוצרים כל איברי הקבוצה. לעתים מוצגת הקבוצה באמצעות רשימה של חלק מאיבריה שבסופם '...' (שלוש נקודות), מתוך הנחה שהקורא הנבון יבין מהם יתר איברי הקבוצה.

[עריכה] דוגמאות לקבוצות

{כלב, חתול, צרצר}: בקבוצה זו שלושה איברים.
{א, ב, ג, ... ש, ת}: בקבוצה זו 27 איברים, שהם כל אותיות האלף-בית העברי (כולל אותיות סופיות) ואולי רק 22 איברים - אותיות האלף-בית העברי ללא אותיות סופיות (זו, אם כן, הצגה עמומה במקצת).
{8,6,4,2, ...}: זו קבוצה אינסופית, הכוללת את כל המספרים הזוגיים החיוביים.
{כל המספרים השלמים שמתחלקים בשלוש ללא שארית}: גם זו קבוצה אינסופית.
{אזרחי סין}: זו היא קבוצה סופית, שהרי יש מספר סופי של אזרחים בסין.

[עריכה] דוגמה נוספת

{אדום, ירוק, כחול}
{אדום, אדום, כחול, ירוק, כחול, כחול, אדום, כחול}
{X: X הוא צבע בסיסי}

כל שלוש הקבוצות הללו זהות, למרות שהן נוצרו באמצעות הגדרות שונות:
ציון כל אברי הקבוצה (הכי יעיל במקרה של קבוצות בעלות מספר קטן של איברים);
או על ידי ציון כל אברי הקבוצה, גם אם הם מופיעים יותר מפעם אחת (סדר ההופעה, ומספר המופעים אינו חשוב ואינו משפיע על הגדרת הקבוצה;
או על ידי הגדרה חד ערכית של אברי הקבוצה (יעיל במקרה של מספר רב של איברים, שניתן להגדיר עבורם חוק / הגדרה.

[עריכה] סימונים והגדרות

הקבוצה הריקה: זו קבוצה שאין בה איברים, והיא מסומנת בסימן $\emptyset$ או בצורה {}.
כאשר איבר $x$ . שייך לקבוצה $A$ . נסמן זאת בצורה $x\in A$ . אם אינו שייך נסמן זאת $x\not\in A$ .
קבוצה A מכילה את קבוצה B (או קבוצה B חלקית ל-A, או B היא תת קבוצה של A) אם כל איבר של B שייך גם ל-A. נסמן זאת בצורה: $B\subseteq A$ .

הפרדוקס של ראסל הבהיר שההגדרה האינטואיטיבית של קבוצה, אתה התחלנו ערך זה, מובילה לסתירה פנימית (אנטינומיה). בעקבות זאת ניתן לתורת הקבוצות, שהיא ענף המתמטיקה העוסק בחקר הקבוצות, ביסוס אקסיומטי, לשם היחלצות מסתירה זו.