נוסחת הרון

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

בגאומטריה, נוסחת הרון משמשת לחישוב שטח של משולש על-פי אורכי שלושת צלעותיו.

דרך אחת להצגת נוסחת הרון היא:

$\mathrm{area} = \sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}\,$

כאשר b ,a, ו-c מייצגות את אורך כל אחת מצלעות המשולש, ו-s מייצגת את היקף המשולש חלקי 2:

$s=\frac{a+b+c}{2}$

דרך נוספת להצגת נוסחת הרון היא:

$\mathrm{area}={\ \sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\,}\ \over 4}$

[עריכה] יציבות מספרית

נוסחת הרון כפי שהוצגה לעיל אינה יציבה מספרית עבור משולשים בעלי זווית קטנה מאוד. חלופה יציבה מצריכה סידור מחדש של צלעות המשולש, כך ש-a ≥ b ≥ c וחישוב של הנוסחה

$S = 1/4\sqrt{(a+(b+c)) (c-(a-b)) (c+(a-b)) (a+(b-c))}$

הסוגריים הכרחיים למניעת אי יציבות מספרית בהערכה.

[עריכה] היסטוריה

גילוי הנוסחה מיוחס להרון מאלכסנדריה במאה הראשונה, והוכחה לנוסחה מופיעה בספרו "מטריקה" (Metrica). אף על פי כן, כיום מאמינים כי ארכימדס כבר הכיר את הנוסחה ואף ייתכן כי הנוסחה הייתה ידועה זמן רב קודם לכן.

[עריכה] הוכחה

להלן הוכחה מודרנית הנעזרת באלגברה ובטריגונומטריה. הוכחה זו שונה למדי מההוכחה שניתנה על ידי הרון.

נניח כי a, b, c מייצגות את צלעות המשולש, וכי A, B, C מייצגות את הזוויות הנגדיות להן, בהתאמה. על פי משפט הקוסינוסים

$\cos(C) = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$ .

באמצעות שימוש באלגברה מגיעים ל-:

$\sin(C) = \sqrt{1-\cos^2(C)} = \frac{\sqrt{4a^2 b^2 -(a^2 +b^2 -c^2)^2 }}{2ab}$ .

גובה הבסיס a הוא (bsin(C, ומכאן נובע ש-:

$= \frac{1}{2} (\mbox{base}) (\mbox{altitude})$	$S\,$
$= \frac{1}{2} ab\sin(C)$
$= \frac{1}{4}\sqrt{4a^2 b^2 -(a^2 +b^2 -c^2)^2}$
$=\sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}$