משפט היחידות של דיריכלה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

משפט היחידות של דיריכלה הוא אחד מהמשפטים היסודיים בתורת המספרים האלגברית. הדוגמה הפשוטה ביותר למשפט זה היא ההבחנה שבמספרים השלמים, רק ל- $\ \pm 1$ יש הפכי ביחס לכפל, שגם הוא שלם. המשפט מראה שגם כאשר עוברים לטפל במספרים שלמים מטיפוס כללי יותר, דהיינו, שלמים אלגבריים בשדה מספרים, רק ל'מעט' מספרים ההפכי הוא שלם.

המשפט קובע כי:

חבורת האיברים ההפיכים בחוג שלמים של שדה מספרים היא חבורה נוצרת סופית.

מן המשפט נובע שכמו כל חבורה אבלית נוצרת סופית, אפשר להציג את החבורה המדוברת כסכום ישר של תת חבורה מפותלת, שהיא במקרה זה חבורה ציקלית המורכבת משורשי יחידה, ותת-חבורה אבלית חופשית. המשפט של דיריכלה מאפשר גם לחשב את דרגת החבורה החופשית.

[עריכה] דוגמאות

מספר x בתחום שלמות R נקרא איבר הפיך, אם גם המספר $\ x^{-1}$ שייך לאותו חוג. אוסף האיברים ההפיכים בתחום שלמות נתון מהווה חבורה אבלית, הנקראת חבורת היחידוׁת של החוג. לדוגמה, בחוג השלמים $\ \mathbb{Z}$ , האברים ההפיכים הם $\ \{1,-1\}$ , ובחוג השלמים של גאוס $\ \mathbb{Z}[\sqrt{-1}]$ , האברים ההפיכים הם $\ \{\pm 1, \pm \sqrt{-1}\}$ . אלו הן חבורות סופיות.

התנהגות מעט שונה רואים בחוג $\ \mathbb{Z}[\sqrt{6}]$ , שאבריו מהצורה $\ a+b\sqrt{6}$ , כאשר $\ a,b$ מספרים שלמים. בחוג הזה, האברים ההפיכים הם אלו שעבורם $\ a^2-6b^2=\pm 1$ - כלומר, הזוג $\ a,b$ פותר את המשוואה הדיופנטית הקלאסית הידועה בשם משוואת פל. הפתרון הקטן ביותר למשוואה זו הוא $\ a=5, b=2$ , וכך מתברר שכל האברים ההפיכים בחוג הם, עד כדי סימן, חזקות של $\ u=5+2\sqrt(6)$ . חבורת היחידות איזומורפית ל- $\ \mathbb{Z}/2\times \mathbb{Z}$ .

עבור כל שדה, האברים ההפיכים בחוג השלמים הם בדיוק אלו שהנורמה שלהם היא $\ \pm 1$ (מצד אחד הכפליות של הנורמה מבטיחה שלאיבר הפיך יש נורמה הפיכה, ומצד שני הנורמה של איבר שווה למכפלת הצמודים שלו). אם בוחרים בסיס לחוג השלמים, אפשר לתרגם את התנאי הזה למשוואה במקדמים. המשוואה המתקבלת היא הכללה של משוואת פל הקשורה בתבנית הנורמה המתאימה.

[עריכה] הדרגה של חבורת היחידות

נניח ש- K הוא שדה מספרים, כלומר, הרחבה ממימד סופי של שדה המספרים הרציונליים. כל שדה כזה אפשר לשכן, בדרכים שונות, בשדה המספרים המרוכבים. כמה מבין שיכונים אלה מסתפקים בערכים ממשיים. אם נסמן ב- r את מספרם של השיכונים הממשיים וב- 2s את מספרם של השיכונים שאינם ממשיים (שהוא תמיד זוגי), אז r+2s שווה לממד של K מעל הרציונליים.

משפט דיריכלה קובע שהדרגה של חבורת היחידות בחוג השלמים של K שווה ל- r+s-1. לשדה $\ \mathbb{Q}$ יש רק שיכון אחד, ממשי, וחבורת היחידות של חוג השלמים שלו, $\ \mathbb{Z}$ , היא אכן חבורה סופית, מדרגה אפס. חבורת יחידות סופית יש גם לחוג השלמים $\ \mathbb{Z}[\sqrt{-1}]$ של $\ \mathbb{Q}[\sqrt{-1}]$ , שלו יש רק זוג שיכונים מרוכבים. לעומת זאת, לשדה $\ \mathbb{Q}[\sqrt{6}]$ יש שני שיכונים ממשיים, וכך דרגתה של חבורת היחידות בחוג השלמים $\ \mathbb{Z}[\sqrt{6}]$ שווה לאחד, כפי שראינו.

[עריכה] סקירת ההוכחה

הרעיון המרכזי בהוכחה הוא ההעתקה של החבורה הכפלית של השדה K אל המכפלה $\ V=\mathbb{R}^r\times \mathbb{R}^s$ , לפי הנוסחה $\alpha \to \left( {\log \left| {\sigma _1 \alpha } \right|,...,\log \left| {\sigma _r \alpha } \right|,2\log \left| {\sigma _{r + 1} \alpha } \right|,...,2\log \left| {\sigma _{r + s} \alpha } \right|} \right)$ . כאן $\ \sigma_i$ הם השיכונים השונים של K (מסודרים כך שהשיכונים הממשיים מופיעים ראשונה). העתקה זו היא 'כמעט שיכון' - רק שורשי היחידה בשדה (שמספרם סופי) עוברים לאפס.

מתברר שכאשר מצמצמים את ההעתקה הזו לאוסף היחידות של חוג השלמים, מתקבל סריג, דהיינו תת-חבורה דיסקרטית של V. עובדה טופולוגית זו, הנמצאת בליבו של הטיעון, נובעת מכך שיש רק מספר סופי של שלמים אלגבריים שכל הצמודים שלהם קטנים (בערכם המוחלט) מחסם נתון. אם ממשיכים את השיכון אל הממשיים על-ידי סיכום הרכיבים, תמונתו של כל איבר שווה ללוגריתם הערך המוחלט של הנורמה שלו, וכך הגרעין כולל בדיוק את האברים ההפיכים. מנימוקים אלה נובע שחבורת היחידות של חוג השלמים נוצרת סופית, ודרגתה לכל היותר $\ r+s-1$ .

כדי להוכיח שהדרגה שווה לחסם המדובר, יש להראות שדרגת הסריג שווה לממד של V. לשם כך נעזרים במשפט מינקובסקי, המאפשר לאתר איברים בעלי תכונות מתאימות ולבנות בסיס לסריג.

מקור: http://he.wikipedia.org../../../%D7%9E/%D7%A9/%D7%A4/%D7%9E%D7%A9%D7%A4%D7%98_%D7%94%D7%99%D7%97%D7%99%D7%93%D7%95%D7%AA_%D7%A9%D7%9C_%D7%93%D7%99%D7%A8%D7%99%D7%9B%D7%9C%D7%94.html

קטגוריה: תורת המספרים

משפט היחידות של דיריכלה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

[עריכה] דוגמאות

[עריכה] הדרגה של חבורת היחידות

[עריכה] סקירת ההוכחה

Views

ניווט

קהילה

חיפוש

שפות אחרות