חבורה חופשית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

חבורה חופשית היא חבורה שקבוצת היוצרים שלה $\ X$ אינה מקיימת אף יחס. בחבורה כזו, כל איבר הוא מלה סופית ב'שפה' שהאותיות שלה הן הסימנים $\ x, x^{-1}$ עבור $\ x\in X$ , ואין בה שתי אותיות רצופות מן הצורה $\ xx^{-1}$ או $\ x^{-1}x$ . הכפל בחבורה מוגדר על-ידי הדבקת שתי המלים זו לזו, ומחיקת הצירופים האסורים אם יש כאלה. את החבורה המתקבלת מבניה זו מסמנים ב- $\ <X>$ . ראו גם מונואיד חופשי.

בחבורה חופשית קל לערוך חישובים, משום שכל איבר מוצג על-ידי מלה אחת ויחידה. בפרט, בחבורה כזו יש פתרון פשוט לבעית המלה ובעית הצמידות.

אם שתי קבוצות X ו- Y הן בעלות אותה עוצמה, אז החבורות $\ <X>$ ו- $\ <Y>$ איזומורפיות זו לזו. בפרט, את החבורה הנוצרת על-ידי קבוצה (כלשהי) בגודל n מקובל לסמן ב- $\ \mathbb{F}_n$ . מספר היוצרים של חבורה חופשית מוגדר היטב (כלומר, בחבורה חופשית לא יכולות להיות שתי קבוצות יוצרים חופשיות בגודל שונה), והוא נקרא הדרגה של החבורה. את הדרגה של חבורה חופשית $\ F$ מסמנים ב- $\ rank(F)$ . כך למשל $\ rank(\mathbb{F}_n)=n$ .

המשפט הראשון בתחום שנקרא היום תורת החבורות הקומבינטורית הוא משפט שרייר (Schreier), הקובע שתת-חבורה של חבורה חופשית גם היא חבורה חופשית. אולי במפתיע, הדרגה של תת-חבורה תמיד גדולה מזו של החבורה. אם $\ H \leq F$ הן חבורות חופשיות, אז היחס $\ \frac{rank(H)-1}{rank(F)-1}$ שווה לאינדקס של H ב- F.

חבורה חופשית היא אובייקט חופשי בקטגוריה של החבורות. בניסוח אחר, חבורה חופשית F עם קבוצת יוצרים X מקיימת את התכונה הבאה, הנקראת אוניברסליות: לכל חבורה $\ G$ ופונקציה $\ f:X\rightarrow G$ קיים הומומורפיזם יחיד $\ \psi :F \rightarrow G$ המקיים $\psi\circ\phi=f$ , כאשר $\ \phi: X \rightarrow F$ הוא השיכון של X ב- F. בפרט נובע מזה שעבור כל חבורה G הנוצרת על-ידי הקבוצה X, קיים אפימורפיזם $\ <X>\rightarrow G$ , ובמלים אחרות כל חבורה אפשר להציג כחבורת מנה של חבורה חופשית. אם $\ G \cong F/N$ כאשר $\ F=<X>$ חופשית, אז $\ N=<R>$ חופשית (לפי משפט שרייר), והיוצרים שלה, אברי R, נקראים יחסים של G. המנה $\ <X>/<R>$ מסומנת ב- $\ <X|R>$ ונקראת הצגה של G על ידי יוצרים ויחסים (זוהי presentation, להבדיל מ- representation).