הבעיות הגאומטריות של ימי קדם

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

הבעיות הגאומטריות של ימי קדם הן בעיות בנייה שנוסחו על-ידי היוונים הקדמונים, והעסיקו מתמטיקאים במשך מאות שנים. הבעיות הן:

בניית קוביה שנפחה כפול מזה של קוביה נתונה
חלוקת זווית נתונה לשלושה חלקים שוים
בניית ריבוע השווה בשטחו לעיגול נתון
בניית מצולע משוכלל בן שבע צלעות

את כל הבניות יש לבצע במסגרת כללי המשחק של הגאומטריה, כלומר באמצעות סרגל ומחוגה בלבד.

רק במאה התשע-עשרה הושם קץ לנסיונות לפתור בעיות בנייה אלה, כאשר הוכח בעזרת תורת גלואה שהן לא פתירות, כלומר אין דרך לבצע את הבניות הנדרשות. עד למועד זה תרמו הניסיונות לפתרון בעיות אלה להתפתחותה של הגאומטריה.

כמוצא זמני מחוסר היכולת לפתור בעיות אלה בכלים המצומצמים של הבניה הגאומטרית (סרגל ומחוגה), המציאו היוונים כלים משוכללים המאפשרים את ביצוע הבנייה הנדרשת.

בעיה נוספת, בעלת אופי שונה והשפעה מרחיקת לכת על הגאומטריה העתיקה והמודרנית, היא הבעיה של הוכחת אקסיומת המקבילים, האקסיומה החמישית של אוקלידס, מתוך האקסיומות האחרות.

[עריכה] הכפלת נפחה של קוביה

בסוף המאה החמישית לפנה"ס השתוללה באתונה מגפת דבר קשה. כאשר נשאל האורקל שבמקדש אפולו שבעיר דלפי כיצד לעצור את המגפה, ענה: הכפילו את נפח המזבח לאפולו. מזבח זה היה בצורת קוביה. האתונאים בנו מזבח חדש שאורך צלעו כפול מזה של המזבח הקיים. משלא נפסקה המגפה הבינו האתונאים את טעותם: נפח המזבח החדש היה גדול פי שמונה (שתיים בחזקת שלוש) מנפח המזבח המקורי. כך נולדה הבעיה הראשונה: כיצד לבנות קוביה שנפחה כפול מזה של קוביה נתונה. ליתר דיוק: כאשר נתונה צלע של קוביה, לבנות צלע של קוביה שנפחה כפול.

היפוקרטס מחיוס עבר מבעיה זו לבעיה של מציאת שני ממוצעים גאומטריים עוקבים המשתלבים בין קטע נתון ובין קטע כפול באורכו. ממוצע גאומטרי של שני מספרים שווה לשורש הריבועי של מכפלתם, ובהתאם לכך מציאת ממוצע גאומטרי של שני קטעים פירושה בניית ריבוע ששטחו שווה לשטח מלבן שצלעותיו הן שני הקטעים הנתונים. הצגה מספרית של הבעיה של היפוקרטס היא: למצוא שני מספרים, a ו-b, כך שיתקיים: $\frac{1}{a}=\frac{a}{b}=\frac{b}{2}$ . קל לראות ש-a שווה ל- $\sqrt[3]{2}$ , כלומר a הוא אורך הצלע של הקוביה הנדרשת. מכאן נובע שלא ניתן לבנות קוביה חדשה כנדרש בעזרת סרגל ומחוגה בלבד, שכן מספר זה אינו ניתן לבניה בסרגל ומחוגה.

[עריכה] תרבוע העיגול

בעיית תרבוע העיגול דורשת לבנות ריבוע השווה בשטחו לעיגול נתון. לבעיה זו הוצעו כל כך הרבה פתרונות שגויים, עד שבשנת 1775 החליטה האקדמיה הצרפתית למדעים שלא לבדוק יותר פתרונות לבעיה זו.

בשנת 1882 הוכיח פרדיננד לינדמן ש- $π$ (פאי) הוא מספר טרנסצנדנטי. מהוכחה זו נובע שלא ניתן לבנות ריבוע השווה בשטחו לעיגול נתון, משום שבבנייה באמצעות סרגל ומחוגה בלבד לא ניתן לבנות יחס טרנסצנדנטי.

[עריכה] חלוקה לשלוש (טריסקציה) של זווית

בעיה זו דורשת לחלק זווית נתונה לשלושה חלקים שוים. מתברר שכבר את הזווית של ששים מעלות לא ניתן לחלק, כלומר, לא ניתן לבנות במחוגה וסרגל זווית של עשרים מעלות. להסבר ראו בנייה בסרגל ובמחוגה.