בנייה בסרגל ובמחוגה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

בגאומטריה האוקלידית של המישור, בנייה בסרגל ובמחוגה היא בניה של עצמים גאומטריים, כגון קטעים בעלי תכונות מוגדרות, הנעזרת בסרגל ומחוגה בלבד. לעניין זה, הסרגל והמחוגה אינם הכלים הפיזיים המשמשים בשרטוט, אלא הפשטות גאומטריות, המממשות את שלוש ההנחות הראשונות מבין חמש ההנחות של אוקלידס ב"יסודות":

הסרגל הגאומטרי הוא כלי המאפשר יצירת קו ישר או קטע ארוך כרצוננו העובר דרך שתי נקודות נתונות. לסרגל אין יכולת מדידה (לא מסומנות עליו שנתות המציינות יחידות אורך), וההנחה היא שיש לו רק צד אחד ישר (הצד השני עשוי להיות מעוקם).
המחוגה הגאומטרית מאפשרת להתוות מעגל שמרכזו הוא נקודה נתונה אחת, ורדיוסו שווה למרחק שבין זוג נקודות נתונות.

בניית משושה משוכלל באמצעות סרגל ומחוגה

חרף מגבלות אלה, ניתן לפתור בעיות בנייה רבות ומגוונות. דוגמאות לבעיות בנייה אלמנטריות:

חציית זווית (כלומר חלוקת זווית נתונה לשתי זויות שוות)
בניית אנך לישר דרך נקודה נתונה על הישר או מחוצה לו.
בניית מעגל חוסם למשולש (כלומר מעגל העובר דרך שלושת קודקודי המשולש)
בניית מעגל חסום במשולש (כלומר מעגל המשיק לכל צלעות המשולש)
העברת ישר מקביל לישר נתון, דרך נקודה שמחוץ לישר.

[עריכה] בעיות בניה מפורסמות

פרט לבעיות הקלות שנמנו בסעיף הקודם, בעיות בניה היו אחד הכוחות שהניעו את התקדמות הגאומטריה לאורך השנים. בין הבעיות הנודעות יותר, נמנה את:

בעית אפולוניוס: להעביר מעגל שישיק לשלושה מעגלים נתונים. בעיה זו הוצגה על-ידי אפולוניוס מפרגה, 260-170 לפני הספירה, שספרו "חתכי חרוט" פרץ דרכים חדשות בגאומטריה שמעבר לישרים ומעגלים. אפולוניוס פתר, ככל-הנראה, את הבעיה, אלא שפתרונו (בספר De Tactionbus) אבד. הבעיה נפתרה על-ידי פרנסואה וייאטה, המתמטיקאי הצרפתי בן המאה השש-עשרה, ואחר-כך, בדרכים פשוטות יותר, על-ידי אחרים, וביניהם גאוס.
בעית הביליארד של אל-חסן: לחסום משולש שווה-צלעות במעגל נתון, באופן ששתיים מצלעות המשולש יעברו דרך נקודות נתונות. הבעיה הוצגה על-ידי המתמטיקאי הערבי אבו עלי אל-חסן בן אל-חסן בן אלחתאם, שחי בין השנים 965 ל- 1039, לערך, וכתב ספר חשוב באופטיקה. בעיה זו אפשר לנסח גם כך: מצא על מעגל נתון, את הנקודה שסכום מרחקיה משתי נקודות נתונות הוא הקטן ביותר. את הבעיה פתר אל-חסן, עקרונית, על-ידי חיתוך המעגל הנתון עם היפרבולה מתאימה.

בעיית מלפטי: בהנתן המשולש ABC, יש לשרטט את שלושת המעגלים המשיקים לצלעות ומשיקים זה לזה

בעית קסטיליון, המבקשת להעביר משולש החסום במעגל נתון ועובר דרך שלוש נקודות נתונות. הבעיה הוצגה על-ידי גבריאל קרמר, ונפתרה ב- 1776 על-ידי I.F.Salvemini, 1709-1791, שנטל לעצמו את השם קסטיליון על-שם מקום הולדתו בקסטיליה שבחבל טוסקנה.
בעית מלפטי: לשרטט במשולש נתון, שלושה מעגלים שיהיו משיקים לצלעות המשולש ומשיקים זה לזה. את הבעיה הציג ופתר המתמטיקאי האיטלקי Malfatti, 1731-1807.
בעית מונג: בהנתן שלושה מעגלים, למצוא מעגל החוצה את שלושתם בניצב. בעיה זו הוצגה על-ידי הצרפתי Monge, 1746-1818. כדי לפתור בעיה זו, הראה מונג שהמקום הגאומטרי של מרכזי המעגלים החוצים בניצב שני מעגלים נתונים, הוא קו ישר.

ארבע בעיות בנייה (הבעיות הגאומטריות של ימי קדם) היו בגדר בעיות פתוחות במשך כ-2,000 שנה, עד שהוכח שלא ניתן לפתור אותן, באמצעות יישום אלמנטרי של התורה המתמטית העוסקת בהרחבת שדות.

כדי לבנות מצולע בן n צלעות, צריך לבנות את הזווית בת $360 / n$ מעלות, ולכן את שורש היחידה מסדר n. גאוס הוכיח באמצעות השיטות של תורת גלואה ומחקריו על שורשי יחידה, שאפשר לבנות מצולעים משוכללים שמספר הצלעות שלהם הוא מכפלה של חזקת 2 וראשוני פרמה שונים. בפרט אפשר לבנות את המצולע המשוכלל בן 17 צלעות, ואת המצולע המשוכלל בן 65,537 צלעות. לעומת זאת, לא ניתן לבנות את המצולע המשוכלל בן 9 צלעות (משום שזה יצריך בניית זוית של 20 מעלות, בנייה שאינה אפשרית בסרגל ומחוגה).

לאחר שנתונות זוג נקודות, להן אפשר להתייחס כנקודות 0 ו- 1, האוסף של כל הנקודות במישור שאותן אפשר לבנות בעזרת סרגל ומחוגה (אותן רואים כמספרים מרוכבים בעזרת הזיהוי של המישור עם שדה המספרים המרוכבים) הוא שדה הנקרא שדה המספרים הניתנים לבנייה.

[עריכה] הכללות

למרות שבבעיות הבניה הקלאסיות מקובל היה להשתמש בשני הכלים, הסרגל והמחוגה, ידוע שאפשר להסתפק בהרבה פחות. בשנת 1797 פרסם הגאומטרן האיטלקי לורנצו מסקרוני ספר, שבו הראה שכל בעיה שאפשר לבנות בסרגל ומחוגה, אפשר לבנות גם באמצעות המחוגה לבדה. כדי להראות זאת, הוכיח מקרוני שבמחוגה ניתן לחבר ולחסר ארכי קטעים, וגם להכפיל ולחלק אורכים זה בזה.

כבר ב- 1759 עסק ד'אלמבר בפתרון בעיות בניה בסרגל בלבד. בעיות אלה מטבען מוגבלות יותר מאשר הבניות במחוגה וסרגל, משום שהסרגל אינו מאפשר אלא פתרון של משוואות לינאריות. עבודתו של ד'אלמבר המריצה מתמטיקאים צרפתיים אחרים לעסוק בנושא, שהעניין בו גבר אחרי פרסום ספרו של מקרוני. באותה עת הציע (Jean-Victor Poncelet (1788-1867 שהוספת מעגל אחד קבוע במישור (יחד עם המרכז של אותו מעגל), די בה כדי לאפשר לסרגל לפתור כל בעיית בניה במחוגה וסרגל. השערה זו הוכחה ב- 1833 על-ידי הגאומטרן החשוב יעקב שטיינר.

כלי אחר שנעשה בו שימוש בהקשר דומה, הוא ה"רצועה", או הסרגל הכפול: סרגל שיש לו שני צדדים ישרים מקבילים, במרחק ידוע. בדומה לסרגל ולמחוגה, אפשר לתאר כלי זה כך:

הרצועה הגאומטרית היא כלי המאפשר העברת קו ישר דרך נקודה נתונה A, באופן שמרחקו מנקודה נתונה B הוא גודל קבוע (השווה לרוחב הסרגל).

הרצועה מספקת פתרון נאה לכמה מהבעיות שהוזכרו קודם לכן, כמו הבעיה של הכפלת הקוביה (אותה אפשר לפתור גם באמצעות חיתוך של פרבולות, או בעזרת העקום הקרוי קונכואיד, שבניתו מיוחסת לניקומדס, בן המאה השנייה לפני הספירה). ארכימדס הראה שאפשר, בעזרת רצועה ומחוגה, לחלק זווית נתונה לשלושה חלקים.