Théorème d'Ascoli

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Le théorème d'Ascoli est un puissant résultat d'analyse fonctionnelle permettant de décrire les parties relativement compactes d'un type d'espaces fonctionnels.

Sommaire

1 Énoncé
2 Démonstration
- 2.1 Condition nécessaire
- 2.2 Condition suffisante

[modifier] Énoncé

Le théorème d'Ascoli s'énonce ainsi :

Soient $(K,\delta)\;$ un espace métrique compact et $(F,d)\;$ un espace métrique complet. L'espace $\mathcal{C}^0(K,F)$ des fonctions continues de K dans F est un espace métrique complet.

Une partie A de $\mathcal{C}^0(K,F)$ est relativement compacte si et seulement si les deux conditions suivantes sont respectées :

A est équicontinue, i.e pour tout $x \in K$ , on a

$\forall \varepsilon > 0, \exists \eta > 0, \forall f \in A, \forall y \in K, \delta(x,y) \leq \eta \Rightarrow d(f(x),f(y)) < \varepsilon$

Pour tout $x \in K$ , l'ensemble $A(x) = \{f(x) : f \in A\}$ est relativement compact.

[modifier] Démonstration

[modifier] Condition nécessaire

$\overline A$ compact alors $\overline A$ précompact donc $A\;$ aussi.

$\forall \varepsilon >0, \exists$ { $f_1,...,f_{p(\varepsilon)}$ } $\subset A$ tel que $A\subset\cup_1^{p(\varepsilon)} B\left(f_j,\varepsilon\right)$ .

Si $x\in K$ alors $\forall\varepsilon>0, A(x)\subset\cup_1^{p(\varepsilon)} B\left(f_j(x),\varepsilon\right)$ . En effet, si $f\in B\left(f_j,\varepsilon\right)$ alors $\sup_{z\in K}d(f(z),f_j(z))=d_{\infty}(f,f_j)<\varepsilon$

Alors $A(x)\;$ précompact et donc relativement compact dans $F\;$

Soit $\varepsilon >0, f_j$ est continue sur $X\;$ compact donc uniformément continue i.e. $\exists\eta_j(\varepsilon)$ tel que $\forall x,y \in K$ , on ait : $\delta(x,y)<\eta_j(\varepsilon) \Rightarrow d(f_j(x),f_j(y))<\varepsilon$ .

Posons $\eta(\varepsilon)=\min_{1\le j\le \varepsilon}\eta_j(\varepsilon)>0$

Soit $x,y \in K$ avec $\delta(x,y)<\eta(\varepsilon)$ . Si $f \in A$ : $\exists j_0$ tel que $f\in B(f_{j_0},\varepsilon)$ donc $d(f(z),f_{j_0}(z)<\varepsilon, \forall z\in K$ .

$d(f(x),f(y))\le d(f(x),f_j(x))+d(f_j(x),f_j(y))+d(f_j(y),f(y))<\varepsilon+\varepsilon+\varepsilon=3\varepsilon$ et ceci $\forall f \in A$ d'où l'équicontinuité de $A\;$

[modifier] Condition suffisante

Soit $(f_p)_{p}\;$ suite de $\overline A$ .

$K\;$ est un espace métrique compact, il est donc séparable. Soit $D=\;$ { $a_k, k\in\mathbb N$ }, ensemble dénombrable dense dans $K\;$ .

Posons $E=\prod_{k\in\mathbb N}\overline {A(a_k)}$

Du fait que, $A(x)\;$ est relativement compact pour tout $x\in K$ , on a : $A(ak)\;$ compact et inclus dans $F\;$ , $\forall k\in\mathbb N$ .

$E\;$ produit dénombrable d'espaces métriques compacts est un espace métrique compact.

A chaque $f\in \overline A$ , on fait correspondre l'élément $(f(a_k))_{k}\;$ de $E\;$ . Donc, à chaque $(f_p)_{p}\;$ , on fait correpondre $h_p=(f_p(a_k))_{k} \in E$ .

De la suite $(h_p)_{p} \in E^{\mathbb N}$ compact, on peut extraire une sous-suite convergente $(h_{\varphi(p)})_{p}\;$ qui converge vers $h=(h^{(k)})_{k}\;$

Les projections $p_k\;$ sont continues d'où : $\forall k, p_k(h_{\varphi(p)})=f_{\varphi(p)}(a_k) \rightarrow h^{(k)}\in F$ . Autrement dit, la sous-suite $(f_{\varphi(p)})_{p}$ est simplement convergeante en tout point de $D\;$ .

De plus, $(f_{\varphi(p)})_{p}\in \overline A^{\mathbb N}$ donc est équicontinue par le premier point.

De plus, sachant que si une suite de fonctions d'un espace métrique compact $K\;$ dans un espace métrique complet $F\;$ est simplement convergeante sur une partie dense de $K\;$ et est équicontinue alors cette suite est uniformément convergeante sur $K\;$ . On en déduit que la sous-suite $(f_{\varphi(p)})_{p}$ est uniformément convergeante sur $K\;$ donc $(f_{\varphi(p)})_{p}$ converge dans $\mathcal{C}^0(K,F)$ muni de la topologie de la convergence uniforme et donc $A\;$ est relativement compacte

Théorèmes de l'analyse fonctionnelle