Théorème de Banach-Schauder

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En analyse fonctionnelle, le théorème de Banach-Schauder, également appelé théorème de l'application ouverte est un résultat fondamental qui affirme qu'une application linéaire continue surjective entre deux espaces vectoriels normés complets est ouverte. C'est une conséquence importante du théorème de Baire, qui affirme que dans un espace de Banach, tout intersection dénombrable d'ouverts denses est dense, ce qui permet de généraliser le théorème de Banach-Schauder aux espaces de Fréchet.

Sommaire

1 Énoncé
2 Démonstration
3 Conséquences
- 3.1 Théorème d'isomorphie de Banach
- 3.2 Théorème du graphe fermé

[modifier] Énoncé

Soit $E$ et $F$ deux espaces de Banach et $f$ une application linéaire continue de $E$ vers $F$ .

Si $f$ est surjective, alors $f$ est ouverte, i.e l'image de tout ouvert de $E$ par $f$ est un ouvert de $F$ .

[modifier] Démonstration

Pour montrer que $f$ est ouverte, il suffit par linéarité de montrer que l'image de tout voisinage de $0$ (dans $E$ ) par $f$ est un voisinage de $0$ (dans $F$ ), i.e

$\forall \varepsilon > 0, \exists \eta > 0, B_F(0, \eta) \subset f(B_E(0, \varepsilon))$

(Par homogénéité de $f$ , il suffit même de le faire pour un seul $\varepsilon$ ). On introduit les fermés suivants :

$F_n = \overline{f(B_E(0,n))}$

Comme $f$ est surjective, on dispose de l'égalite ensembliste :

$F = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} F_n$

$F$ est un espace de Banach, en particulier il vérifie la propriété de Baire, donc un de ces fermés, $F N$ est d'intérieur non vide : il contient une boule $B F (y,η)$ .

Le fermé $F 2 N$ contient donc la boule $B F (0,η)$ . Par homogénéité de $f$ on dispose ainsi d'un entier $M$ tel que :

$B_F(0,1) \subset \overline{f(B_E(0,M))}$

Il ne reste plus qu'à faire sauter la barre. Notons que par homogénéité de $f$ , on déduit de ce résultat que :

$\forall n \in \mathbb{N}, B_F(0,1/2^n) \subset \overline{f(B_E(0,M/2^n))}$

Montrons que $B_F(0,1) \subset f(B_E(0,3M))$ . Pour cela, donnons-nous un $z \in B_F(0,1)$

Il existe $x 0$ de norme inférieure à $M$ tel que $z 1 = z - f (x 0)$ soit de norme inférieure à 1/2.
Il existe $x 1$ de norme inférieure à $M / 2$ tel que $z 2 = z 1 - f (x 1)$ soit de norme inférieur à 1/4.

On construit par récurrence une suite $(x n)$ de points de $E$ telle que $||x_n|| \leq M/2^n$ et $z_n = z - f(x_0 + \cdots + x_n)$ soit de norme inférieure à $1 / 2 n$ .

La série $\sum x_n$ est absolument convergente, donc comme $E$ est un espace de Banach, elle converge. De plus,

$\Big|\Big| \sum_{n=0}^{+ \infty} x_n \Big|\Big| \leq \sum_{n = 0}^{+\infty} ||x_n|| \leq M \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{2^n} = 2M$

Et, par passage à la limite :

$z = f\Big( \sum_{n=0}^{+\infty} x_n\Big) \in f(\overline{B_E(0,2M)}) \subset f(B_E(0,3M))$

C'est ce qu'il fallait démontrer.

[modifier] Conséquences

[modifier] Théorème d'isomorphie de Banach

Le théorème de Banach-Schauder a une conséquence fondamentale (en fait, il s'agit d'une forme équivalente du théorème, et non d'un résultat plus faible), appelée théorème d'isomorphie de Banach, théorème de Baire-Banach ou plus simplement théorème de Banach :

f

est une application linéaire bijective continue entre deux espaces de Banach, alors

f

est un homéomorphisme.

[modifier] Théorème du graphe fermé

Voir l’article Théorème du graphe fermé.

Le théorème de Banach-Schauder est également à l'origine d'un puissant critère de continuité des applications linéaires entre deux espaces de Banach, il s'agit du théorème du graphe fermé :

Soit