Satz von Arzelà-Ascoli

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Der Satz von Arzelà-Ascoli, benannt nach Cesare Arzelà (1847-1912) in Erweiterung eines Satzes von Giulio Ascoli (1843-1896), ist ein wichtiger Satz in der Funktionalanalysis. Er lautet:

Sei $X$ ein kompakter metrischer Raum, $Y$ ein vollständiger normierter Raum und $F\subseteq C_b(X,Y)$ eine Menge stetiger beschränkter Abbildungen $X\to Y$ . Dann gilt: $F$ ist genau dann relativ kompakt in $C b (X, Y)$ , wenn $F$ gleichgradig stetig ist, und für jedes $x\in X$ die Menge $\{f(x):f\in F\}$ relativ kompakt in $Y$ ist.

[Bearbeiten] Beweisskizze

Der Beweis benutzt das cantorsche Diagonalverfahren, in welchem auf rekursive Art partiell konvergente Teilfolgen konstruiert werden, um dann quer durch alle Teilfolgen eine überall konvergente Teilfolge zu erhalten.

Sei $\{f_n\}_{n\in\N}\subset F$ eine beliebige Funktionenfolge in der Funktionenfamilie F. Zu zeigen ist, dass diese eine in $C b (X, Y)$ konvergente Teilfolge enthält.

Dazu wählt man sich eine aufsteigende Folge von endlichen Teilmengen $A_N\subset A_{N+1}\subset X$ , welche gegen eine in der kompakten Menge $X$ dichte Teilmenge $A_\infty:=\bigcup_{N=1}^\infty A_N$ „konvergiert“. Die Funktionenfolge, eingeschränkt auf eine solche Teilmenge $\{f_n{}_{|A_k}\}_{n\in\N}$ , enthält nach Voraussetzung eine auf $A k$ konvergente Teilfolge, denn ein endliches kartesisches Produkt relativ kompakter Mengen ist wieder relativ kompakt.

Sei $f 0, k = f k$ die nullte, triviale Teilfolge. Dann kann rekursiv, beginnend mit N=1,2,..., in $\{f_{N-1,k}\}_{k\in\N}$ eine Teilfolge $\{f_{N,k}\}_{k\in\N}$ ausgewählt werden, die auf $A N$ konvergiert. Dann konvergiert nach dem Cantorschen Diagonal„trick“, die Diagonalfolge $\{f_{N,N}\}_{N\in\N}$ auf der dichten Teilmenge $A_\infty\subset X$ gegen eine Funktion $f:A_\infty\to Y$ .

Aus der gleichgradigen Stetigkeit folgt, dass die so erhaltene Grenzfunktion auf ganz $X$ stetig und beschränkt fortgesetzt werden kann zu $\bar f:X\to Y$ und es folgt ebenfalls, dass die Diagonalfolge auch in der Supremumsnorm gegen die so konstruierte Funktion konvergiert: $\lim_{N\to\infty} f_{N,N}=\bar f$ in $C b (X, Y)$ .

[Bearbeiten] Literatur

Johann Cigler, Hans-Christian Reichel: Topologie. Eine Grundvorlesung. ISBN 3411051213
Harry Poppe: Compactness in General Function Spaces, Berlin 1974
René Bartsch: On a nice embedding and the Ascoli-theorem, New Zeal. J. of Math. , Vol.33, No. 1, 25-39 (2004) preprint als pdf

Von „http://de.wikipedia.org../../../s/a/t/Satz_von_Arzel%C3%A0-Ascoli_0342.html“

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