Ziegenproblem

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie

Du hast neue Nachrichten (Unterschied zur vorletzten Version).

Das Ziegenproblem, auch als „Drei-Türen-Problem“, „Monty-Hall-Problem“ oder „Monty-Hall-Dilemma“ bekannt (nach dem Moderator der US-amerikanischen Spielshow „Let's make a deal“, Monty Hall), wird als Beispiel zur Veranschaulichung des Verständnisproblems der bedingten Wahrscheinlichkeiten herangezogen.

Inhaltsverzeichnis

1 Das Problem
2 Hintergrund
3 Lösung und Erklärung
4 Varianten
- 4.1 Geh aufs Ganze
- 4.2 Mehrere Türen
5 Zitate
6 Siehe auch
7 Literatur
8 Weblinks

Das Problem

Bei einer Spielshow soll der Kandidat eines von drei aufgebauten Toren auswählen. Hinter einem verbirgt sich der Gewinn, ein Auto, hinter den anderen beiden jeweils eine Ziege, also Nieten (oder Trostpreise). Folgender Spielablauf ist immer gleich und den Kandidaten vorab bekannt:

Der Kandidat wählt ein Tor aus, welches aber vorerst verschlossen bleibt.
Daraufhin öffnet der Moderator, der die Position des Gewinns kennt, eines der beiden nicht vom Kandidaten ausgewählten Tore, hinter dem sich eine Ziege befindet. Im Spiel befinden sich also noch ein Gewinn und eine Niete.
Der Moderator bietet dem Kandidaten an, seine Entscheidung zu überdenken und das andere Tor zu wählen.

Wie soll der Kandidat sich entscheiden, um seine Gewinnchance zu maximieren?

Hintergrund

Zum ersten Mal wurde ein äquivalentes Problem 1889 von dem französischen Mathematiker Joseph Bertrand veröffentlicht. Er beschrieb es als das „Drei-Kasten-Problem“.

Berühmtheit erlangte das Ziegenproblem 1990 durch eine Lösungsbeschreibung der US-amerikanischen Kolumnistin Marilyn vos Savant im „Parade Magazine“, deren Richtigkeit zunächst selbst von Mathematikern angezweifelt wurde. Savant wurde zeitweise von einigen Mathematikern, die das Problem ungenügend durchdacht hatten, beschimpft. Die Einwände zur Richtigkeit bezogen sich dabei allerdings nicht auf die sprachliche Unschärfe des Problems. Diese wären von Savant akzeptiert worden.

Lösung und Erklärung

Auch wenn viele Menschen dazu neigen, davon auszugehen, dass es keinen Unterschied zwischen dem Torwechsel oder dem Verharren auf der getroffenen Entscheidung gäbe, ist diese Annahme falsch. Die Wahrscheinlichkeit, dass sich das Auto hinter dem zuerst gewählten Tor befindet, beträgt 1/3 und die Wahrscheinlichkeit, dass es hinter einem der anderen beiden steht, 1/3 + 1/3 = 2/3. Wenn von den beiden Toren, auf die zusammengenommen die Wahrscheinlichkeit 2/3 zutrifft, dasjenige mit der Niete geöffnet wird, verbleibt die höhere Wahrscheinlichkeit von 2/3 allein auf dem letzten Tor. Das vom Kandidaten am Anfang ausgewählte erste Tor dagegen bleibt jedoch bei der Wahrscheinlichkeit von 1/3. Bei einem Wechsel verdoppelt der Kandidat also seine Chancen auf das Auto.

Faktisch hat nämlich das bloße Öffnen eines der beiden verbliebenen Tore mit einer Niete dahinter keinerlei Auswirkungen auf die Gewinnwahrscheinlichkeit. Der Moderator beweist dem Kandidaten durch das Öffnen nur, dass hinter mindestens einem der beiden verbliebenen Tore eine Niete steckt. Das wusste der Kandidat bei drei Toren und zwei Nieten aber schon vorher. Also bietet der Moderator lediglich an, dass der Kandidat durch einen Tor-Wechsel das Auto dann bekommt, wenn es hinter einem beliebigen der zwei verbliebenen Tore steckt. Statt einem Tor darf der Kandidat nun also auf Wunsch faktisch zwei Tore auf einmal auswählen - dies verdoppelt natürlich die Gewinnchance.

Um die Lösung zu verstehen, muss man bedenken, dass die Chance auf einen Gewinn hinter dem gewählten Tor von Anfang an nur 1/3 betrug und sich beim Festhalten des Spielers an seiner Wahl auch nicht ändert – unabhängig ob der Showmaster ein Ziegentor öffnet oder nicht –, andererseits beträgt die Wahrscheinlichkeitssumme aller Auswahlmöglichkeiten 3/3, also 1. Oder anders: In 2/3 aller Fälle hat der Kandidat eine Tür mit einer Ziege ausgewählt. Der Moderator muss auf jeden Fall eine Tür mit einer Ziege öffnen. Das heißt, dass in 2/3 aller Fälle die verbliebene Tür den Preis enthält. Daher ist ein Wechsel strategisch stets sinnvoll.

In einem Satz: Kann man durch eigene Wahl nur eine Wahrscheinlichkeit von 1/3 erreichen, verbleiben nach Aufzeigen der Niete die anderen 2/3 beim dritten Tor, welches man wählen sollte.

Wesentliche Voraussetzung

Eine wesentliche Voraussetzung für diese überraschende Lösung ist allerdings, dass der Moderator weiß, hinter welchem Tor sich der Hauptgewinn befindet und dass der Moderator auf jeden Fall nicht das Tor mit dem Auto und nicht das vom Kandidaten ausgewählte Tor aufmacht. Wenn auch der Moderator nicht weiß, wo der Hauptgewinn verborgen ist, und auch das Tor des Kandidaten öffnen darf, öffnet er in 1/3 aller Fälle das Tor für den Hauptgewinn. Die Chance, dass der Kandidat den Hauptgewinn erhält, bleibt dann 1/3, sowohl mit als auch ohne Wechsel. Wenn der Moderator die Tür mit dem Auto öffnet, ist sie Null bzw. Eins, sonst jeweils 50 %.

Auflösung der verbreiteten Fehlargumentation

Der häufigste Grund für das Finden einer falschen Antwort besteht darin, dass man sich nach dem Öffnen des Ziegentores fälschlicherweise eine „vergleichbare“ Situation vorstellt: Wenn man die Auswahl zwischen zwei Toren hat, aber nur eines das richtige ist, dann stehen die Chancen 50:50.

Dies ist dann richtig, wenn der Kandidat eines der beiden verbleibenden Tore zufällig wählt, also seine erste Wahl zufällig ändert oder nicht, beispielsweise durch Münzwurf. Bei einer Entscheidung ohne sein Vorwissen darüber, welches der Tore er zuerst gewählt hatte und welches nach Ausschluss durch den Moderator übrig bleibt, sind die Gewinnchancen ausgeglichen. Legt sich der Kandidat hingegen auf eine bestimmte Strategie fest, so hat er zu diesem Zeitpunkt keine Entscheidungsfreiheit, der Ausgang des Spiels ist alleine festgelegt durch die ursprüngliche Wahl eines Tores.

Fehleinschätzung durch Fehlinterpretation der Rolle des Moderators

Ein weiterer Grund für das Finden einer falschen Antwort ist ein falsches Verständnis der Rolle des Moderators. Es wird oft fälschlicherweise angenommen, dass dieser irgendeine der anderen beiden Türen öffnet, wobei dann zufällig die Ziege zum Vorschein kommt. Dann würde aber auch mit der Wahrscheinlichkeit 1/3 das Auto vom Moderator selbst gezeigt werden, und das darf er nicht. Der Moderator weiß, hinter welcher Tür das Auto steckt, und muss genau diese Tür geschlossen halten.

Bei einer Sendung wie „Wer wird Millionär?“ dagegen erhöht sich die Gewinnwahrscheinlichkeit nicht, wenn ein Kandidat sich vor Anwendung des „fifty-fifty-Jokers“ für eine Antwort entscheidet und sich nach dem Wegfallen von zwei Antworten umentscheidet. Der Computer kann die vom Kandidaten ausgewählte Antwort wegfallen lassen, wenn diese falsch ist, und braucht sich nicht auf die übrigen Antwortmöglichkeiten einzuschränken.

Eine Fehleinschätzung besteht in der Annahme, der Moderator versuche, den Teilnehmer irrezuführen und ihn zum Wechseln zu bewegen, um die Gewinnwahrscheinlichkeit zu verringern. Eine solche „Irreführung“ würde in Wirklichkeit dem Teilnehmer theoretisch helfen, seine Gewinnwahrscheinlichkeit zu verbessern, wenn er wechselt. Allerdings ist dabei nicht berücksichtigt, dass der Moderator in der Praxis weiß, ob der Kandidat sich ursprünglich für das Auto entschieden hat oder nicht und dementsprechend sein Verhalten gegenüber dem Kandidaten davon abhängig machen kann.

Schema für die (richtige) „Immer-Wechsel“-Strategie

Bei einer „Immer-Wechsel“-Strategie zeigen sich drei Fälle, anhand der drei vom Kandidaten gewählten Türen:

	Der Kandidat wählt vorerst A, die Ziege B wird ihm gezeigt, durch einen Wechsel (von A auf C) gewinnt er.
	Der Kandidat wählt vorerst B, die Ziege A wird ihm gezeigt, durch einen Wechsel (von B auf C) gewinnt er.
	Der Kandidat wählt vorerst C, eine Ziege (A oder B) wird ihm gezeigt, durch einen Wechsel (von C auf B bzw. A) verliert er.

Fazit: Er gewinnt in zwei von drei Fällen durch einen Wechsel.

Erklärung mit Hilfe eines Entscheidungsbaumes

Beim Schätzen und Berechnen von Wahrscheinlichkeiten ist es wichtig, keine Informationen, die zur Verfügung stehen, zu übersehen: hier ein Entscheidungsbaum für das Problem. Annahme bei diesem Entscheidungsbaum: Das Auto befindet sich hinter dem Tor A.

Entscheidungsbaum zum Ziegenproblem

Erklärung mit Hilfe des Bayesschen Theorems

Es sind die Ereignisse definiert:

K_A: Der Kandidat hat das Tor A gewählt, ...

M_A: Der Moderator hat das Tor A geöffnet, ...

G_A: Der Gewinn ist im Tor A, ...

Es soll beispielsweise die Situation vorliegen: Der Kandidat hat Tor A gewählt, und der Moderator hat daraufhin das Tor B geöffnet. Lohnt es sich für K zu wechseln? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Auto hinter Tor C ist? Gesucht ist also die bedingte Wahrscheinlichkeit P(G_C|M_B), dass das Auto hinter Tor C ist, wenn bekannt ist, dass es nicht hinter Tor B ist. Man kann diese Wahrscheinlichkeit mit dem Bayesschen Theorem ermitteln:

$P(G_C|M_B) = \frac{P(M_B \cap G_C)}{P(M_B)} =$

$\frac{P(M_B|G_C)P(G_C)}{P(M_B|G_A)P(G_A)+P(M_B|G_B)P(G_B)+P(M_B|G_C)P(G_C)} =$

$\frac{ 1 \cdot \frac{1}{3} } { \frac{1} {2} \cdot \frac{1}{3} + 0 \cdot \frac{1}{3} + 1 \cdot \frac{1}{3}} = \frac{\frac{1}{3} }{ \frac{1}{6} + 0 + \frac{1}{3}} = \frac{2}{3} \; .$

Der Kandidat sollte wechseln.

Das Ziegenproblem wird oft als Beispiel dafür herangezogen, dass der menschliche Verstand zu Trugschlüssen neigt, wenn es um das Schätzen von Wahrscheinlichkeiten geht.

Erklärung mit Hilfe der Monte-Carlo-Simulation

Da diese Methodologie jedenfalls noch etwa im Jahr 1994 eine Aufsehen erregende Erscheinung in der Stochastik war, folgt hier noch ein Anwendungs-Beispiel in Pseudocode:

program Simulation
    gewonnenOhneWechsel = 0
    gewonnenMitWechsel = 0
    n = 1000000
    repeat n times
        auto = random(0..2)
        wahl = random(0..2)
        if wahl == auto then
            gezeigt = (random(1..2) + wahl) mod 3
        else
            gezeigt = (3 - wahl - auto) mod 3
        end
        if wahl == auto then gewonnenOhneWechsel = gewonnenOhneWechsel + 1 end
        wechsel = (3 - wahl - gezeigt) mod 3
        if wechsel == auto then gewonnenMitWechsel = gewonnenMitWechsel + 1 end
    end
    print("ohne Wechsel ", gewonnenOhneWechsel*100/n, "%")
    print("mit Wechsel ", gewonnenMitWechsel*100/n, "%")
end

Es ist im Programm gut zu erkennen, dass bei der Ohne-Wechsel-Strategie das Öffnen eines Tores keinen Einfluss auf die Gewinnwahrscheinlichkeit hat.

Als Ergebnis werden erwartungsgemäß etwa 33 % und etwa 67 % ausgegeben.

Sprachlich einfache Erklärungen

Der Moderator kann nur ein Tor öffnen, hinter dem sich der Gewinn nicht befindet. Ein Kandidat, der sich immer gegen den Wechsel entscheidet, gewinnt nur, wenn er auf Anhieb das richtige Tor trifft. Dies geschieht in einem Drittel der Fälle. Ein Kandidat, der immer wechselt, verliert in allen Fällen, in denen er ohne Wechsel gewinnt, also einem Drittel der Fälle, und gewinnt folglich in zwei Dritteln der Fälle.

Alternativen und Erweiterungen

Alternativ kann man sich auch folgende Interpretation des Spieles durch den Kandidaten vorstellen: Der Kandidat wählt zwei Türen aus und bittet den Moderator, eine Niete sicher auszuschließen, so dass von zwei Türen nur noch dann eine Niete übrig bleibt, wenn der Gewinn schon vorher hinter der nicht ausgewählten Tür versteckt war. Ganz offensichtlich ist die Gewinn-Chance hier zwei Drittel. Der Kandidat kann den Moderator dadurch zur Mitarbeit benutzen, indem er vorgibt, sich für die eigentlich ausgeschlossene Tür zu entscheiden, woraufhin der Moderator die gewünschte Auswahl in den zwei eigentlich gewählten Türen vornimmt. Zur übriggebliebenen Tür wird der Kandidat dann offen wechseln, sie gehörte ja ohnehin zu seinen beiden Auswahlkandidaten.

Recht einsichtig wird das Ganze auch, wenn man die Situation etwas erweitert. Zur Vereinfachung der Beschreibung sei dabei angenommen, der Kandidat habe sich für Tor 1 entschieden und der Moderator habe Tor 2 geöffnet, d. h. der Kandidat kann sich zwischen Tor 1 und Tor 3 entscheiden. Ohne dass sich irgendetwas an der Wahrscheinlichkeit ändert, den Gewinn zu bekommen, kann man nun auch annehmen, dass der Moderator dem Kandidaten zusätzlich zu dem Gegenstand hinter Tor 3 auch noch die Ziege hinter Tor 2 schenkt. Ebenfalls ändert sich nichts an der Gewinnwahrscheinlichkeit, wenn der Moderator Tor 2 nun wieder schließt. Und es ändert sich auch nichts an der Gewinnwahrscheinlichkeit, wenn der Moderator die Nummern von den Toren 2 und 3 abnimmt, so dass der Kandidat nicht mehr weiß, welches Tor ursprünglich Nummer 2 und welches 3 war (er bekommt ja sowieso beide). Damit wäre das Problem reduziert auf die Aufgabe, entweder Tor 1 zu wählen oder aber die beiden anderen, wobei klar ist, dass hinter einem der anderen beiden Tore eine Ziege steht. Betrachtet man nun diese Aufgabenstellung losgelöst vom ursprünglichen Problem, wird intuitiv jeder zur Wahl der beiden anderen Tore tendieren, denn bei der Wahl von 2 Toren ist logischerweise die Gewinnwahrscheinlichkeit höher als bei der Wahl von nur einem Tor.

Varianten

Geh aufs Ganze

Das Ziegenproblem ähnelt der Spielshow „Geh aufs Ganze!“, unterscheidet sich aber in einem wesentlichen Punkt: Beim Ziegenproblem ist immer genau ein Gewinn vorhanden. Bei „Geh aufs Ganze“ können auch mehrere und wertmäßig unterschiedliche Gewinne vorhanden sein, unter anderem auch ein offenes Geldangebot in bar. Der Moderator bietet dem Spieler Geld, wenn er sich umentscheidet und das vom Moderator gewollte Tor nimmt. Der Moderator feilscht regelrecht mit dem Spieler, erhöht sein Angebot (100, 200, 300... Euro) und geht bis zu einem Limit, das der Spieler vorher nicht kennt. Wenn sich dann der Spieler nicht sofort für das Geld entscheidet, ist das Angebot weg und der Spieler muss das gewählte Tor nehmen. Deshalb unterscheidet sich hier die optimale Strategie. Sie hängt maßgeblich von der Risikoaversion des Kandidaten ab. Der Moderator erhöht schrittweise die sichere Alternative (das Geldangebot), bleibt dabei jedoch unter dem Wert des Hauptpreises. Der Kandidat muss entscheiden, ob ihm das sichere Geldangebot mehr wert ist als die Chance auf den Hauptgewinn. Die Entscheidungstheorie nennt dies das Sicherheitsäquivalent.

Mehrere Türen

Um die richtige Lösung zu veranschaulichen, wird die Problemstellung gelegentlich auf eine höhere Anzahl von Türen übertragen, zum Beispiel 100. Die Regeln des n-Türen-Problems (n = 3 oder größer) sind:

Der Kandidat wählt eine Tür aus.
Der Moderator öffnet alle bis auf eine der verbleibenden Türen, im Spiel befinden sich also nur noch ein Gewinn und eine Niete.
Der Kandidat erhält die Möglichkeit, die Tür zu wechseln.

Es ist ziemlich offensichtlich, dass der Kandidat bei 100 Türen nur mit 1%iger Wahrscheinlichkeit zunächst den Gewinn wählt. Der Gewinn befindet sich also fast immer hinter der anderen Tür. Genauer: wenn der Kandidat konsequent die Tür wechselt, ist die Gewinnwahrscheinlichkeit gerade die Wahrscheinlichkeit, ursprünglich eine Niete zu erwischen, also (n-1)/n (bei 100 Türen 99 %, beim ursprünglichen Ziegenproblem 2/3).

Nach dem Öffnen der Türen liegt übrigens dieselbe Situation vor wie beim ursprünglichen Ziegenproblem mit nur 3 Türen. Ein unbedarfter Kandidat könnte hier also wieder argumentieren, dass die Gewinnchance 1/2 ist (da es ja auf die Vorgeschichte nicht ankomme). Dies ist auch korrekt, wenn er einfach nur zufällig eine der beiden verbleibenden Türen wählt (zum Beispiel durch Werfen einer Münze). Wie eben erläutert, kann er jedoch die Chancen erhöhen, wenn er sein Vorwissen nutzt.

Zitate

"Lösungen mathematischer Probleme werden nicht durch Abstimmung entschieden." - Marilyn vos Savant

Siehe auch

Verwandte Themen, bei denen man aus Teilinformation die optimale Entscheidung des Restproblems treffen kann:

Literatur

Gero von Randow: Das Ziegenproblem – Denken in Wahrscheinlichkeiten. Rowohlt, Reinbek 1992. ISBN 3-499-19337-X
Olle Häggström: Streifzüge durch die Wahrscheinlichkeitstheorie. Springer, Berlin 2005. ISBN 3-540-23050-5
Henk Tijms: Understanding Probability, Chance Rules in Everyday Life. University Press, Cambridge 2004. ISBN 0521833299
Gerd Gigerenzer: Das Einmaleins der Skepsis - Über den richtigen Umgang mit Zahlen und Risiken. Berlin-Verlag, Berlin 2002. ISBN 3-8270-0079-3
Hans-Otto Georgii: Stochastik, Einführung in Wahrscheinlichkeitstheorie und Stochastik, Seite 54 f, Gruyter, August 2004. ISBN 3110182823