Monty Hall-problemet
Wikipedia
Monty Hall-problemet är ett spelteoretiskt problem som bygger på sannolikheter. Det är löst baserat på de amerikanska spelet "Let's make a deal". Namnet kommer från det spelets presentatör Monty Hall. I detta spel får spelaren se tre dörrar, bakom en finns en bil och bakom de två andra finns en get. Först får spelaren välja en dörr och därefter öppnar presentatören, som vet vad som finns bakom dörrarna, en av de som inte innehåller vinsten. Spelaren får då ytterligare ett val, nämligen att byta dörr.
Ökar chanserna att vinna om man byter? Svaret är ja, genom att byta dörr ökar chanserna från 1/3 till 2/3.
Problemet kallas ibland Monty Hall-paradoxen då lösningen är kontraintuitiv.
Innehåll |
[redigera] Problem och lösning
[redigera] Problemet
Craig F. Whitaker formulerade problemet i en insändare till Marilyn vos Savants kolumn i Parade Magazine 1990. Denna formulering blev berömd då hennes svar orsakade kontrovers.
- Antag att du är med i en tv-lek där du får välja mellan tre dörrar. Bakom en dörr finns en bil, bakom de andra två getter. Du väljer dörr 1 och tv-värden, som vet vad som finns bakom alla dörrar öppnar en annan dörr, säg nummer 3 vilken visar en get. Han frågar därefter "Vill du byta till dörr nummer 2.", är det då till din fördel att ändra ditt val
[redigera] Lösningen
Ja, det är till din fördel att ändra ditt val. Chansen att vinna dubbleras av att ändra sitt val jämfört med att hålla fast vid orginalvalet.
Det finns tre olika scenarion, samtliga med 1/3 sannorlikhet.
- Spelaren väljer förlust 1. Spelledaren väljer förlust 2. Byte ger vinst
- Spelaren väljer förlust 2. Spelledaren väljer förlust 1. Byte ger vinst
- Spelaren väljer vinst. Spelledaren väljer förlust 1 eller 2. Byte ger förlust
I de första två scenarierna vinner man genom att byta. Eftersom det tredje scenariet är det enda där man vinner genom att behålla är oddsen för att vinna genom att byta 2/3.
[redigera] Varianter
[redigera] n dörrar
En generalisering av problemet är att använda n dörrar. I det första steget väljer du en dörr varefter spelledaren öppnar en dörr med en get bakom. Du får sedan valet att stå fast vid ditt val eller byta. Detta fortsätter till det bara är två oöppnade dörrar kvar. Hur många gånger ska du byta och om, när ?
Den bästa strategin är att hålla fast vid sitt val ända till slutet då du byter. Med denna stategi är sannolikheten att vinna (n-1)/n. Detta bevisades av Bapeswara Rao och Rao.
Men är detta rätt spår? Säg att n (antalet dörrar) går mot oändligheten. Då blir (n-1)/n ~ 1, dvs jag blir säker på att vinna bilen, vilket är orealistiskt. Eller är det det?
Problemet kan omformuleras så här.
Jag väljer en dörr som antingen innehåller en get eller en bil. Monty Hall reducerar alla dörrar som innehåller getter och lämnar en kvar som antingen innehåller en bil eller en get.
Jag väljer bland de två dörrarna och har 1/n chans att få en bil för ursprungsdörren och (n-1)/n chans att få en bil för den sista ej öppnade dörren. Givetvis byter jag dörr!
