Problema di Monty Hall
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Il problema di Monty Hall è un noto paradosso della teoria della probabilità, legato al gioco a premi americano Let's Make a Deal. Il nome viene da quello del conduttore dello show, Monty Hall. In questo apparente paradosso, vengono mostrate a un giocatore tre porte chiuse; al di là di una c'è un'automobile e dietro ciascuna delle altre due si nasconde una capra. Al giocatore è permesso aprire una porta, e tenersi ciò che si trova di là da essa. Ad ogni modo, dopo che il giocatore ha selezionato una porta, ma non l'ha ancora aperta, il conduttore dello show (che conosce ciò che si trova dietro ogni porta) deve aprire un'altra porta, rivelando una delle due capre. Il conduttore offre a quel punto al giocatore la possibilità di cambiare la propria scelta iniziale, passando all'unica porta restante. Passare all'altra porta migliora le chance del giocatore di vincere l'automobile? La risposta è sì; in particolare, le probabilità di vittoria passano da 1/3 a 2/3.
Il problema è anche noto come paradosso di Monty Hall, nel senso che la soluzione è controintuitiva, sebbene il problema non conduca a una contraddizione logica (e dunque l'uso del termine paradosso sia improprio).
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[modifica] Storia del problema e sua soluzione
[modifica] Il problema
Una famosa formulazione del problema, molto probabilmente quella originale, è contenuta in una lettera del 1990 di Craig F. Whitaker, indirizzata alla rubrica di Marilyn vos Savant nel Paradise Magazine (citata da Bohl, Liberatore, Nydick):
Supponi di partecipare a un gioco a premi, in cui puoi scegliere tra tre porte: dietro una di esse c'è un'automobile, dietro le altre, capre. Scegli una porta, diciamo la numero 1, e il conduttore del gioco a premi, che sa cosa si nasconde dietro ciascuna porta, ne apre un'altra, diciamo la 3, rivelando una capra. Quindi ti domanda: "Vorresti scegliere la numero 2?" Ti conviene cambiare la tua scelta originale?
Quella proposta sopra è una formulazione del problema data da Steve Selvin, in una lettera all'American Statistician (Febbraio 1975). Così impostato, il problema è in realtà una variazione sul tema del gioco a premi originale; Monty Hall in effetti apriva una porta dietro cui si trovava una capra per aumentare la tensione, ma non consentiva ai giocatori di cambiare la propria scelta originale. Come scrisse lo stesso Monty Hall a Selvin:
E se mai dovesse partecipare al mio gioco, le regole sarebbero le stesse per lei - nessuno scambio dopo la scelta originale.
—(letsmakeadeal.com)
La vos Savant risolse il problema correttamente; l'episodio fece un certo scalpore, in quanto diversi accademici non riconobbero la correttezza della soluzione proposta dalla vos Savant finché questa non la spiegò nel dettaglio in un successivo articolo; si veda l'articolo su Marilyn vos Savant al proposito.
La successiva lettera di Selvin all'America Statistician (Agosto, 1975) battezza il problema come "Problema di Monty Hall".
Un problema essenzialmente identico appare ad ogni modo nella rubrica Mathematical Games di Martin Gardner nel 1959, col nome di "problema dei tre prigionieri".
La formulazione originale del problema è probabilmente quella proposta nel volume di Joseph Bertrand Calcul des Probabilités (1889), e nota come il paradosso della scatola di Bertrand.
Quella che segue, per concludere, è una formulazione del problema priva di ambiguità, con vincoli espliciti concernenti il comportamento del conduttore, presentata da Mueser e Granberg:
- Dietro ciascuna di tre porte c'è un'automobile o una capra (due capre, un'automobile in tutto); la probabilità che l'automobile si trovi dietro una data porta è identica per tutte le porte;
- Il giocatore sceglie una delle porte; il suo contenuto non è rivelato;
- Il conduttore sa ciò che si nasconde dietro ciascuna porta;
- Il conduttore deve aprire una delle porte non selezionate, e deve offrire al giocatore la possibilità di cambiare la sua scelta;
- Il conduttore aprirà sempre una porta che nasconde una capra;
- Cioè, se il giocatore ha scelto una porta che nasconde una capra, il conduttore aprirà la porta che nasconde l'altra capra;
- Se invece il giocatore ha scelto la porta che nasconde l'automobile, il conduttore sceglie a caso una delle due porte rimanenti;
- Il conduttore offre al giocatore la possibilità di reclamare ciò che si trova dietro la porta che ha scelto originalmente, o di cambiare, reclamando ciò che si trova dietro la porta rimasta.
Le possibilità di vittoria aumentano per il giocatore se cambia la propria scelta?
[modifica] Soluzione
La risposta è sì; le probabilità di trovare l'automobile raddoppiano.
La soluzione può essere illustrata come segue. Ci sono tre scenari possibili, ciascuno avente probabilità 1/3:
- Il giocatore sceglie la capra numero 1. Il conduttore sceglie l'altra capra. Cambiando, il giocatore vince l'auto.
- Il giocatore sceglie la capra numero 2. Il conduttore sceglie l'altra capra. Cambiando, il giocatore vince l'auto.
- Il giocatore sceglie l'auto. Il conduttore sceglie una capra, non importa quale. Cambiando, il giocatore trova l'altra capra.
Nei primi due scenari, cambiando il giocatore vince l'auto; nel terzo scenario il giocatore che cambia non vince. Dal momento che la strategia "cambiare" porta alla vittoria in due casi su tre, le chance di vittoria adottando la strategia sono 2/3.
Una strategia di soluzione alternativa è considerare che se si suppone di cambiare, il solo caso in cui si perde è quello in cui originariamente si è scelta l'automobile e quindi la domanda del conduttore può essere considerata un invito a invertire le probabilità di successo con quelle di insuccesso.
Il problema sarebbe diverso se non ci fosse una scelta iniziale, o se il conduttore scegliesse una porta a caso, o se il conduttore potesse offrire al giocatore di cambiare a seconda della scelta iniziale del giocatore. Alcune formulazioni del problema, e significativamente quella del Paradise Magazine, non escludono esplicitamente queste possibilità; diversi testi di probabilità elementare riportano varianti del problema. Per esempio, se il conduttore offre la possibilità di cambiare solo se il giocatore inizialmente ha scelto l'automobile, le chance di vittoria associate alla strategia "cambiare" sono, ovviamente, dello 0%. Nella formulazione proposta nella sezione precedente, il giocatore che cambia ha una probabilità di vittoria pari a 2/3 precisamente perché il conduttore deve offrirgli la possibilità di cambiare, e deve rivelare una capra.
[modifica] Aiuti alla comprensione del problema
L'obiezione più comune alla soluzione è fornita dall'idea che, per varie ragioni, il passato possa essere ignorato quando si valutano delle probabilità. Dunque, la scelta della prima porta e il ragionamento del conduttore circa quale porta aprire si possono trascurare; dal momento che si può scegliere tra due porte, la probabilità di scegliere quella giusta dovrebbe essere pari al 50%.
Per confutare ciò possiamo porci una domanda. Ipotiziamo che un giocatore adotti la strategia di non accettare mai l'offerta del conduttore, qualunque essa sia. Se le probabilità di vincita all'inizio sono del 33%, ha senso pensare che queste passino automaticamente al 50% solo perché il conduttore ha chiesto qualcosa che il giocatore non ascolta neanche? Ovviamente no.
Sebbene ignorare il passato funzioni in certi giochi, come ad esempio nel lancio di una moneta, non funziona necessariamente in tutti i giochi. Un rilevante controesempio è fornito dal conteggio delle carte uscite in certi giochi di carte, che consente ai giocatori di sfruttare a proprio vantaggio l'informazione riguardante eventi passati. Questo tipo di informazione è utile nella soluzione del problema di Monty Hall, come illustrato negli esempi che seguono.
[modifica] Diagrammi di Eulero-Venn
La probabilità che l'auto sia dietro la porta restante può essere calcolata con l'ausilio del diagramma di Venn illustrato sotto. Dopo aver scelto la porta 3, per esempio, il giocatore ha probabilità 1/3 di aver selezionato la porta con l'auto, il che assegna una probabilità pari a 2/3 alle due porte restanti. Si osservi che c'è una probabilità pari a 1 di trovare una capra dietro almeno una delle due porte non selezionate dal giocatore, dal momento che c'è una sola auto in palio.
Si supponga che il conduttore apra la porta 1. Dal momento che può solo aprire una porta che nasconde una capra, e non apre una porta a caso, questa informazione non ha effetto sulla probabilità che l'auto sia dietro la porta originariamente selezionata, che resta pari a 1/3. Ma l'auto non è dietro la porta 1, dunque l'intera probabilità di 2/3 delle due porte non selezionate dal giocatore è ora assegnata alla sola porta 2, come mostrato sotto. Un modo alternativo per arrivare a questa conclusione è osservare che se l'auto si trova dietro la porta 1 o dietro la porta 2, aprire la porta 1 implica che l'auto si trova dietro la 2.
In maniera forse più formale, è possibile visualizzare il problema con l'ausilio del diagramma ad albero riportato di seguito.
[modifica] Teorema di Bayes
Un'analisi del problema attraverso il teorema di Bayes consente di fare il minimo ricorso all'argomentazione verbale e il massimo ricorso alla matematica; rende inoltre esplicito l'effetto delle ipotesi effettuate in precedenza. Si consideri, senza ledere la generalità dell'analisi, il caso in cui la porta 3 è stata scelta, e non è stata ancora aperta alcuna porta.
La probabilità (a priori, utilizzando il gergo della statistica bayesiana) che l'automobile si trovi dietro la porta 2, che si denota con 
, è chiaramente 1/3, in quanto l'auto ha a priori la stessa probabilità di trovarsi dietro ciascuna porta. La probabilità che il conduttore dello show apra la porta 1, 
, è inoltre 1/2, dal momento che l'auto ha la stessa probabilità di trovarsi dietro la porta 1 (il che costringerebbe il conduttore ad aprire la porta 2) come dietro la porta 2 (il che costringerebbe il conduttore ad aprire la porta 1); se poi l'auto non si trova dietro nessuna delle due porte (1 o 2), è lecito ipotizzare che il conduttore ne apra una a caso, con uguale probabilità. Si osservi tuttavia che se l'auto si trova dietro la porta 2, in base a queste ipotesi il conduttore aprirà sicuramente la porta 1; in termini formali, 
. Ma allora, sfruttando il teorema di Bayes, si ottiene:
[modifica] Varianti
[modifica] Due giocatori
Ad alcuni minuti dalla fine del gioco, il conduttore sceglie due concorrenti a cui proporre "la grande scommessa". Dietro a una delle tre porte c'è il premio più consistente. Ad ogni giocatore è permesso scegliere una porta (non la stessa) .
In questo scenario, si può esaminare una variante del problema. Il presentatore elimina il giocatore che abbia scelto una porta con dietro la capra (se lo hanno fatto entrambi, ne viene scelto uno a caso), apre la porta, svelando la capra e poi offre al giocatore rimanente la possibilità di cambiare la propria scelta. Il giocatore dovrebbe effettuare lo scambio?
La risposta è no. La ragione: il giocatore che effettuasse lo scambio in questo tipo di gioco vincerebbe se e solo se entrambi i giocatori avessero scelto una porta con la capra. che probabilità ha questa evenienza? 1/3. Se mantenesse la scelta resterebbero 2/3 di probabilità. Quindi chi mantenesse la scelta fatta inizialmente avrebbe il doppio delle possibilità di vincere.
In alternativa, ci sono tre possibili scenari , tutti con uguale probabilità (1/3):
- Il giocatore 1 sceglie la porta che nasconde l'auto. Il conduttore deve eliminare il giocatore 2. Cambiare scelta comporta perdere.
- Il giocatore 2 sceglie la porta che nasconde l'auto. Il conduttore deve eliminare il giocatore 1. Cambiare scelta comporta perdere.
- Nessuno dei giocatori sceglie la porta che nasconde l'auto. Il conduttore elimina a caso uno dei due giocatori. Cambiare scelta comporta vincere.
Il giocatore 1 è l'unico rimasto nel primo caso, e lo è con probabilità 1/2 nel terzo caso; in questa eventualità cambiare scelta comporta una probabilità di perdere (1/3) due volte maggiore di quella di vincere (1/6). Analogamente, nel secondo caso il giocatore 2 è l'unico rimasto, e lo è con probabilità 1/2 nel terzo caso; in questa eventualità cambiare scelta comporta una probabilità di perdere (1/3) due volte maggiore di quella di vincere (1/6). Dunque a prescindere da quale giocatore rimanga, c'è una probabilità pari a 2/3 di vincere se non si cambia scelta.
[modifica] n porte
Esiste una generalizzazione del problema originale in cui si hanno n porte: nel primo stadio del gioco, il giocatore sceglie una porta. Quindi il conduttore apre un'altra porta, che nasconde una capra. Se il giocatore vuole, può quindi cambiare scelta e passare a un'altra porta. Il conduttore aprirà allora un'ulteriore porta, ancora non aperta, che nasconde una capra, diversa da quella attualmente scelta dal giocatore. Il giocatore ha quindi la possibilità di cambiare ancora scelta, e così via. Questo procedimanto continua fino a che non restano che due porte non ancora aperte: la scelta corrente del giocatore, e un'altra porta. Quante volte dovrebbe cambiare scelta il giocatore, e a che punto del gioco (sempre che cambi almeno una volta)?
La migliore strategia è: restare con la prima scelta sino a che non rimangono solo due porte e a quel punto cambiare. Seguendo questa strategia la probabilità di vincere è (n − 1) / n. Questa variante del paradosso di Monty Hall si deve a Bapeswara Rao e Rao.
[modifica] Variante nel gioco del bridge
Una comune variante del problema è nota ai giocatori di bridge da ben prima che l'articolo della Vos Savant fosse pubblicato. Tale variante è nota come principio della scelta ristretta. Un'illustrazione alternativa è disponibile presso la URL http://www.acbl-district13.org/artic003.htm.
[modifica] Versione quantistica
Esiste una versione quantistica del paradosso, che illustra alcuni aspetti della relazione tra la teoria dell'informazione classica (non quantistica) e l'informazione quantistica, ossia l'informazione codificata negli stati di sistemi meccanici quantistici. Le tre porte sono rimpiazzate da un sistema quantistico che consta di tre alternative, in cui aprire una porta e vedere cosa nasconde si traduce in fare una particolare misurazione. Le regole del gioco possono essere espresse in questo linguaggio, e una ancora una volta il giocatore può scegliere se restare fedele alla propria scelta iniziale o cambiare e optare per una scelta alternativa ("ortogonale"). Quest'ultima strategia ha probabilità di vittoria doppie, esattamente come nel caso classico. Tuttavia, se la posizione del premio non è pienamente casuale in senso quantistico, il giocatore può fare ancora meglio, e in determinati casi vincere con probabilità pari a uno. È disponibile in rete un articolo al riguardo, nonché un'applet che illustra gli effetti così descritti.
[modifica] Riferimenti bibliografici
- Bapeswara Rao, V. V. e Rao, M. Bhaskara (1992). A three-door game show and some of its variants. The Mathematical Scientist 17(2), 89–94
- Bohl, Alan H.; Liberatore, Matthew J.; e Nydick, Robert L. (1995). A Tale of Two Goats ... and a Car, or The Importance of Assumptions in Problem Solutions. Journal of Recreational Mathematics 1995, 1–9.
- Joseph Bertrand (1889). Calcul des probabilités
- Gardner, Martin (1959). Rubrica "Mathematical Games", Scientific American, Ottobre 1959, 180–182.
- Mueser, Peter R. e Granberg, Donald (1999), The Monty Hall Dilemma Revisited: Understanding the Interaction of Problem Definition and Decision Making (University of Missouri Working Paper 99-06). http://econwpa.wustl.edu:80/eps/exp/papers/9906/9906001.html (retrieved July 5, 2005).
- Nahin, Paul J. (2000). Duelling idiots and other probability puzzlers. Princeton University Press, Princeton, NJ, 192-193. (ISBN 0-691-00979-1).
- Selvin, Steve (1975a). A problem in probability (letter to the editor). American Statistician 29(1):67 (Febbraio 1975).
- Selvin, Steve (1975b). On the Monty Hall problem (letter to the editor). American Statistician 29(3):134 (Agosto 1975).
- Tierney, John (1991). Behind Monty Hall's Doors: Puzzle, Debate and Answer?, The New York Times 21 luglio 1991, Domenica, Section 1; Part 1; Page 1; Column 5
- vos Savant, Marilyn (1990). Rubrica Ask Marilyn, Parade Magazine 12 (17 febbraio 1990). [citata in Bohl et al., 1995]
- Adams, Cecil (1990). On 'Let's Make a Deal,' you pick Door #1. Monty opens Door #2--no prize. Do you stay with Door #1 or switch to #3?, The Straight Dope 2 novembre 1990. http://www.straightdope.com/classics/a3_189.html (consultata il 25 luglio 2005).
- Tijms, Henk (2004). Understanding Probability, Chance Rules in Everyday Life. Cambridge University Press, New York, 213-215.
