Tangens Hyperbolicus und Kotangens Hyperbolicus

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Tangens Hyperbolicus und Kotangens Hyperbolicus sind Hyperbelfunktionen. Man nennt sie auch Hyperbeltangens oder hyperbolischen Tangens, b.z.w. Hyperbelkotangens oder hyperbolischen Kotangens.

[Bearbeiten] Schreibweise

Tangens Hyperbolicus:	$y = \operatorname{tanh}(x)$
Kotangens Hyperbolicus:	$y = \operatorname{coth}(x)$

[Bearbeiten] Definition

$\operatorname{tanh} x = \frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}}=\frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}=\frac{2}{e^{-2x}+1}-1=\frac{\sinh x}{\cosh x}$

$\operatorname{coth} x = \frac{e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}} = \frac{e^{2x}+1}{e^{2x}-1} = \frac{\cosh(x)} {\sinh(x)}$

[Bearbeiten] Eigenschaften

Graph der Funktion tanh(x)

Graph der Funktion coth(x)

	Tangens Hyperbolicus	Kotangens Hyperbolicus
Definitionsbereich	$- \infty < x < + \infty$	$- \infty < x < + \infty$ ; $x \ne 0$
Wertebereich	$- 1 < f (x) < 1$	$- \infty < f(x) < -1$ ; $1 < f(x) < + \infty$
Periodizität	keine	keine
Monotonie	streng monoton steigend	$x < 0$ streng monoton fallend $x > 0$ streng monoton fallend
Symmetrien	Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung	Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung
Asymptoten	$f(x)\to \ +1$ für $x \to \ + \infty$ $f(x)\to \ -1$ für $x \to \ - \infty$	$f(x)\to \pm 1$ für $x \to \pm \infty$
Nullstellen	$x = 0$	keine
Sprungstellen	keine	keine
Polstellen	keine	$x = 0$
Extrema	keine	keine
Wendepunkte	$x = 0$	keine

[Bearbeiten] Umkehrfunktion

Der Tangens Hyperbolicus ist eine Bijektion $\tanh:\mathbb{R}\rightarrow (-1,1)$ . Die Umkehrfunktion nennt man Areatangens Hyperbolicus und ist für Zahlen x aus dem Intervall $( - 1,1)$ definiert und nimmt als Wert alle reellen Zahlen an. Sie lässt sich durch den natürlichen Logarithmus ausdrücken:

${\rm Artanh}\,x=\frac12\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right).$

Für die Umkehrung des Kotangens Hyperbolicus gilt:

$\operatorname{arcoth}(x) = \frac{1}{2}\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)$

[Bearbeiten] Ableitungen

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \tanh x = \frac {1} {\cosh^2x} = 1 - \tanh^2x$

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \coth(x) = 1- \coth^2(x) = - \frac{1}{\sinh^2{x}}$ .

[Bearbeiten] Additionstheorem

Es gilt das Additionstheorem.

$\tanh(\alpha+\beta)=\frac{\tanh \alpha+ \tanh \beta}{1+\tanh\alpha\tanh\beta}$

[Bearbeiten] Integrale

$\int \tanh(x)\,\mathrm{d}x = \ln \cosh x$

$\int \coth(x)\,\mathrm{d}x = \ln ( \sinh(x))$

[Bearbeiten] Reihenentwicklung

$\operatorname{tanh}(x) = \sgn(x) \left[1+ \sum_{k=1}^\infty (-1)^k2e^{-2k|x|}\right]$

$\operatorname{coth}(x) = \frac{1}{x}+ \sum_{k=1}^\infty \frac{2x} {k^2\pi^2+x^2}$

Der Anfang der Taylorreihe des Tangens Hyperbolicus lautet:

$\tanh (x) = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} \cdot \frac{2^{2n}(2^{2n} -1)}{(2n)!} \cdot B_n \cdot x^{2n - 1} = x- \frac13 x^3 + \frac {2}{15} x^5+\cdots$