Bernoulli-Zahlen
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Die Bernoulli-Zahlen Bn sind eine Folge rationaler Zahlen, die in der Mathematik in verschiedenen Zusammenhängen auftreten: als Entwicklungskoeffizienten trigonometrischer, hyperbolischer und anderer Funktionen, in der Euler-Maclaurin-Formel, und in der Zahlentheorie in Zusammenhang mit der Riemannschen Zetafunktion. Die Benennung dieser Zahlen nach ihrem Entdecker Johann Bernoulli wurde von Abraham de Moivre eingeführt.
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[Bearbeiten] Definition
Achtung: In der Literatur werden die Bernoulli-Zahlen in zwei verschiedenen Weisen definiert. Zur Unterscheidung schreiben wir Bn für die in Kontinentaleuropa üblichere Variante (die zum Beispiel im Taschenbuch der Mathematik von Bronstein-Semendjajew und in den Integraltabellen von Gradshteyn-Ryzhik verwendet wird) und βn für die abweichende Variante (die Eric Weisstein als die modernere propagiert).
Die Bernoulli-Zahlen werden am einfachsten als Taylor-Koeffizienten der erzeugenden Funktion x/(ex − 1) eingeführt: die Reihenentwicklung
beziehungsweise
konvergiert für alle x mit einem Betrag kleiner als 2π.
[Bearbeiten] Zahlenwerte
Die ersten Bernoulli-Zahlen lauten B1, B2, B3, ... = 1/6, 1/30, 1/42, 1/30, 5/66, 691/2730, 7/6, 3617/510, 43867/798, 174611/330, 854513/138, ... Diese Zahlen finden sich beispielsweise in der Reihenentwicklung des Tangens, Tangens Hyperbolicus oder Cosecans wieder.
In der alternativen Definition ist β1=-1/2, alle weiteren β mit ungeradem Koeffizienten verschwinden: β2n+1=0. Die β mit geraden Koeffizienten ergeben sich aus den Bn gemäß Bn=(-1)n+1β2n als β2, β4, β6, ... = 1/6, -1/30, 1/42, -1/30, 5/66, ...
Für längere Listen siehe unten unter Weblinks.
[Bearbeiten] Reihenentwicklungen für Bernoulli-Zahlen
Die folgenden Reihenentwicklungen liefern die klassischen (im o.g. Sinne) Bernoulli-Zahlen:
[Bearbeiten] Rekursionsformel
Setzt man und so ergeben sich die Bernoulli-Zahlen aus der Rekursionformel:
Für ungerade Zahlen gilt .
[Bearbeiten] Bernoulli-Zahlen und Bernoulli-Polynome
Die Bernoulli-Polynome sind eine Abbildung und sind durch folgende Rekursionsgleichungen vollständig charakterisiert:
und
Die ersten drei Polynome lauten etwa:
Die konstanten Terme dieser Polynome stehen in direktem Zusammenhang mit den Bernoulli-Zahlen, denn es sind gerade die Bernoulli-Zahlen βn.
[Bearbeiten] Weblinks
- Die ersten 498 Bernoulli-Zahlen als Projekt Gutenberg-e-Text.